सिद्ध कीजिये कि छोटे द्वारक के अवतल दर्पण कि वक्रता त्रिज्या फोकस दूरी से दो गुनी होती है।

Explanation

सामने चित्र में अवतल दर्पण से परावर्तन को दिखाया गया है। समतल दर्पण के जो परावर्तन के नियम हैं , वे गोलीय दर्पण पर भी पूर्ण रूप से लागू होते हैं। चित्र में RP एक अवतल दर्पण पर आपतित किरण हैं , जो मुख्य अक्ष के समान्तर हैं और अवतल दर्पण से परावर्तन के पश्चात् PQ दिशा में गमन करती है और मुख्य अक्ष को F पर काटती है। CP रेखा बिंदु P पर अभिलम्ब है अतः CP इस अवतल दर्पण कि वक्रता त्रिज्या होगी।
परावर्तन के नियम से
आपतन कोण i= परावर्तन कोण r
या `angleRPC=angleQPC`
चूँकि आपतित किरण RP मुख्य अक्ष के समान्तर है अतः
`angleRPC=anglePCF` (एकान्तर कोण)
अतः `anglePCF=angleQPC=angleFPC`
इसलिये त्रिभुज PCF में
PF=FC
यदि दर्पण का द्वारका छोटा हो तो बिंदु P दर्पण के ध्रुव O के समीप होगा।
अतः PF=OF
या `FC~OF`
अथवा `OF=(1)/(2)OC`
या OC =2OF
अर्थात जब द्वारक छोटा है तो वक्रता त्रिज्या OC=R, फोकस दूरी OF=f से दोगुनी है एवं फोकस बिंदु F दूरी OC का मध्य बिंदु है।
R=2f