सिद्ध कीजिये कि गुरुत्वीय क्षेत्र में स्वतंत्रता से गिरती हुई वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा गति के प्रत्येक बिन्दु पर स्थिर रहती है।

Explanation

स्वतंत्रतापूर्वक गिरते हुए पिण्ड के लिए यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण-माना m द्रव्यमान की एक वस्तु पृथ्वी की सतह से h ऊँचाई पर स्थित है। इसकी प्रारम्भिक स्थिति को चित्र में दिखाया गया है। वस्तु स्वतंत्रतापूर्वक गिरती है तथा x दूरी तय करने के बाद स्थिति B तथा h दूरी तय करने के बाद स्थिति C (पृथ्वी की सतह) पर पहुँचती है।
स्थिति A पर-
वस्तु की गतिज ऊर्जा = 0
`because` वस्तु स्थिर है |
वस्तु की स्थितिज ऊर्जा = mgh
इसलिए वस्तु की कुल ऊर्जा `=0+mgh`
`=mgh"                           "...(1)`


स्थिति B पर -
वस्तु की स्थितिज ऊर्जा `=mg(h-x)`
`="mgh"-"mgx"" "...(2)`
यदि इस स्थिति पर वस्तु का वेग `V_(B)` है |
गति के तृतीय समीकरण से
`V^(2)=u^(2)+2as` से
`V_(B)""^(2)=0+2gx" "because u=0,a=g`
या `" "V_(B)""^(2)=2gx`
वस्तु की गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mv_(B)^(2)`
`=(1)/(2)m xx 2gx="mgx "...(3)`
इसलिए वस्तु की कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा
`="mgh"-"mgx"+"mgx"`
`="mgh"`
स्थिति C पर -
स्थितिज ऊर्जा `=0, because h = 0` है |
यदि पृथ्वी पर वेग `V_(C)` तब न्यूटन के तृतीय समीकरण से
`V_(C)^(2)=0+2gh`
`:." "V_(C)^(2)=2gh`
इसलिए वस्तु की गतिज ऊर्जा `=(1)/(2)mVc^(2)`
`=(1)/(2)m xx 2gh`
`=" mgh"`
अत: वस्तु की कुल ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा
`=0+" mgh"="mgh"`
स्पष्ट होता है कि गुरुत्वीय क्षेत्र में स्वतंत्रतापूर्वक गिरती हुई वस्तु की यांत्रिक ऊर्जा गति के प्रत्येक बिन्दु पर स्थिर रहती है |
मुक्त रूप से गिरते हुए पिण्ड की गतिज ऊर्जा तथा स्थितिज ऊर्जा का पृथ्वी तल से ऊँचाई (h) के साथ परिवर्तन चित्र में प्रदर्शित है। चित्र से स्पष्ट है कि गतिज ऊर्जा तथा स्थितिज ऊर्जा का मान निरन्तर बदलता रहता है, परन्तु गतिज ऊर्जा तथा स्थितिज ऊर्जा का योग नियत रहता है।
जब पिण्ड पृथ्वी से टकराता है तथा यकायक रुकता है तो उसकी ऊर्जा, ऊष्मा ध्वनि तथा प्रकाश में बदल जाती है। वास्तविक रूप में पृथ्वी से टकराने पर पिण्ड की सम्पूर्ण यांत्रिक ऊर्जा का क्षय हो जाता है। परन्तु इसके साथ ऊर्जा अन्य रूपों में परिवर्तित होती है। अलग-अलग ऊर्जाओं में क्षय यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होता है।