Evaluate `lim_(xto0) {sin^(2)((pi)/(2-px))}^(sec^(2)((pi)/(2-qx))).`

Options

A. -1
B. 2
C. `sqrt(5)`
D. `e^(-p^(2)//q^(2))`

Answer

D

Explanation

Given limit taks `1^(oo)` form. Therefore.
`L=underset(xto0)lim{sin^(2)((pi)/(2-px))}^(sec^(2)((pi)/(2-qx)))`
`=exp{underset(xto0)lim[sin^(2)((pi)/(2-px))-1]sec^(2)((pi)/(2-qx))}`
`=exp{-underset(xto0)lim("cos"^(2)((pi)/(2-px)))/("cos^(2)((pi)/(2-qx)))}`
`=exp{-underset(xto0)lim("sin"((pi)/(2)-(pi)/(2-px)))/("sin"^(2)((pi)/(2)-(pi)/(2-qx)))}`
Now,`=underset(xto0)lim("sin"^(2)((pi)/(2)-(pi)/(2-px)))/("sin"^(2)((pi)/(2)-(pi)/(2-qx)))`
`=underset(xto0)lim(("sin"^(2)((pi)/(2)-(pi)/(2-px)))/(((pi)/(2)-(pi)/(2-px))^(2)))/(("sin"^(2)((pi)/(2)-(pi)/(2-qx)))/(((pi)/(2)-(pi)/(2-qx))^(2)))xx(((pi)/(2)-(pi)/(2-px))^(2))/(((pi)/(2)-(pi)/(2-qx))^(2))`
`=underset(xto0)lim(((pi)/(2)-(pi)/(2-px))^(2))/(((pi)/(2)-(pi)/(2-px))^(2))`
`=underset(xto0)lim(((-pipx)/(2(2-px)))^(2))/(((-piqx)/(2(2-qx)))^(2))`
`=p^(2)//q^(2)`
`:.L=e^(-p^(2)//q^(2))`