यदि प्लांक स्थि‌रांक (h), निर्वात में प्रकाश का वेग (c)तथा, न्यूटन का गुरूत्वीय स्थिरांक (G) तीन मौलिक स्थिरांक हों, तो निम्नलिखित में से किसकी विमा वही होगी, जो लंबाई की होती है?

Options

A. `sqrt(Gc)/(h^(3//2))`
B. `(sqrt(hG))/(c^(3/2))`
C. `(sqrt(hG))/(c^(5//2))`
D. `sqrt((hc)/G)`

Answer

B

Explanation

माना लम्बाई L को h,c और G के पदों में निम्न प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
`L=(h)^(a)(c)^(b)(G)^(a)`
जहां h= प्जांक स्थिरांक, c= प्रकाश की चाल तथा G= सार्वत्रिक गुरूत्वकार्षण नियतांक।
दोनों पक्षों की विमा लिखने पर
`[M^(0)LT^(0)]=[ML^(2)T^(-1)]^(a)[LT^(-1)]^(b)[M^(-1)L^(3)T^(-2)]^(c)`
`=[M^(a-c)L^(2a+b+3c)T^(-a-b-2c)]`
दोनों पक्षों में M,L व T की घातों की तुलना करने पर
`a-c=0`……….i
`2a+b+3c=1`…………ii
और `-a-b-2c=0`…………iii
समी (i),(ii),(iii) को हल करने पर
`a=c=1/2` और `b=(-3)/2`
अतः लम्बाई की विमा `[L]=(h)^(1/2)(c)^((-3)/2)(G)^(1/2)=(sqrt(hG))/(c^(3//2))`