कैप्लर के तृतीय नियम के अनुसार, सूर्य की परिक्रमा करते हुए किसी ग्रह का परिक्रमण काल (T), सूर्य और उस ग्रह के बीच की औसत दूरी r की तृतीय घात के समानुपाती होता है अर्थात `T^(2)=Kr^(3)` जहाँ, K एक स्थिरांक है | यदि सूर्य तथा ग्रह के द्रव्यमान क्रमशः M तथा m है, तो न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार, इनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल का मान `F=(GMm)/(r^(2))` होता है | जहाँ, G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है | G तथा K के बीच सम्बन्ध है |

Options

A. `GK=4pi^(2)`
B. `GMK = 4pi^(2)`
C. K = G
D. `K=(1)/(G)`

Answer

B

Explanation

हम जानते है, कि
`because` गुरुत्वाकर्षण बल, `F=(GMm)/(r^(2))`
एवं अभिकेन्द्रीय बल, `F=(mv^(2))/(r )`
उपग्रह व सूर्य के माध्य गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा अभिकेन्द्रीय बल प्रदान किया जाता है अर्थात
`(GMm)/(r^(2))=(mv^(2))/(r )rArr v = sqrt((GM)/(r )) " "` .....(i)
उपग्रह का आवर्तकाल, `T=2pi r//v`
v का मान समी (i) में रखने पर,
`rArr T^(2)=(4pi^(2)r^(2))/((GM)/(r ))=(4pi^(2)r^(3))/(GM) " "` .....(ii)
केप्लर के तृतीय नियम से, `T^(2)=Kr^(3) " "` ....(iii)
समी (ii) व समी (iii) से,
`(4pi^(2)r^(3))/(GM)=Kr^(3)rArr GMK = 4pi^(2)`