वैधुत द्विध्रुव के विषुवतीय तल पर स्थित किसी बिंदु पर द्विध्रुव के कारण उत्पन्न विधुत क्षेत्र की व्युत्पत्ति कीजिए | आवश्यक चित्र बनाइए |

Explanation

द्विध्रुव को मिलाने वाली अक्षीय रेखा पर दिध्रुवों के मध्य बिंदु पर लंबवत खींची गई रेखा को निरक्षीय रेखा या विषुवतीय रेखा कहते है | निरक्षीय रेखा पर बिंदु P पर द्विध्रुव के कारण क्षेत्र की तीव्रता की गणना करती है | माना बिंदु P व O के मध्य की दूरी r है तथा PA = PB = l है तो P बिंदु पर द्विध्रुव के -q आवेश के कारण क्षेत्र की तीव्रता `vec(E)_(A),PA` दिशा में होगी तथा +q आवेश के कारण क्षेत्र की तीव्रता `vec(E)_(B),BP` दिशा में होगी | `vec(E)_(A)वvec(E)_(B)` परिणाम के बराबर होंगे | चूँकि AP = BP = l

P पर -q आवेश के कारण क्षेत्र की तीव्रता
`|vec(E)_(A)|=(Kq)/(l^2)" "[vec(PA)"दिशा में"]" "...(1)`
P पर +q के कारण क्षेत्र की तीव्रता
`|vec(E)_(B)|=(Kq)/(l^2)" "[vec(BP)"दिशा में"]" "...(2)`
बिंदु P परिणामी क्षेत्र `vec(E)` सदिश `vec(E)_(A)वvec(E)_(B)` के योग के बराबर होगा |
अर्थात `vec(E)=vec(E)_(A)+vec(E)_(B)`
माना की `/_PAB=/_APR=theta`
स्पष्ट है कि `vec(E)_(A)"तथा"vec(E)_(B)` को अक्षीय रेखा AB लंबवत तथा अनुदिश दो घटकों में वियोजित करते है | AB के लंबवत घटक `E_(A)sintheta"तथा" E_(B)sintheta` दोनों एक दूसरे के बराबर व विपरीत होने के कारण निरस्त हो जावेंगे तथा AB के अनुदिश घटक `E_(A)costheta" ""तथा"" "E_(B)costheta` एक ही दिशा में होने के कारण जुड़ जावेंगे |
अतएव परिणामी क्षेत्र
`|vec(E)_(B)|=E_(A)costheta+E_(B)costheta" "...(3)`
`|vec(E)_(B)=2E_(A)costheta[because|vec(E_A)|=|vec(E_B)|]" "...(4)`
समीकरण (4) में `costheta` का मान `DeltaAOP` से ज्ञात करने पर
`costheta=(OA)/(AP)=(d/2)/(l)=(d)/(2l)`
`E=2(K.q)/(l^2)(d)/(2l)" "[PR "दिशा में "]`
`=(Kqd)/(l^3)[becausep=qd]" "...(5)`
`because" "E=(Kp)/(l^3)" "...(6)`
`DeltaAOP" ""से"" "AP^(2)=AO^(2)+OP^(2)`
या `l^(2)=(d^2)/(4)+r^(2)becausel=[(d^2)/(4)+r^(2)]^(1/2)`
`because" "l^(3)=((d^2)/(4)+r^(2))^(1/2)" "...(7)`
समीकरण (6) व (7) से
`E=(Kp)/(((d^2)/(4)+r^(2))^(3/2))" "...(8)`
समी. (8) में `dgtgtr_(1)` तो `d^(2)//4` को `r^(2)` की तुलना में नगण्य मानने पर
`E=(Kp)/(r^3)`
`E=(1)/(rpiin_0)(p)/(r^3)" "...(9)`
विधुत क्षेत्र `vec(E)` की दिशा चित्र में प्रदर्शित है तथा विधुत द्विध्रुव की अक्ष के समांतर धनावेश से ऋणावेश की ओर अर्थात विधुत द्विध्रुव आघूर्ण `vec(p)` की दिशा के विपरीत (-p) है |
अतः सदिश संकेतन में
`vec(E)=(1)/(4piin_0)(p)/(r^3)" "...(10)`
स्पष्ट है इस स्थिति में `vec(E)` की दिशा, `vec(p)` की दिशा के विपरीत है |