चित्र बनाकर एक समान आवेशित अनंत समतल चादर के कारण इसके नजदीक किसी बिंदु पर विधुत क्षेत्र के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए |

Explanation

समान आवेशित अनंत समतल चादर (अचालक परत) के कारण विधुत क्षेत्र की तीव्रता -

माना एक अनंत विस्तार की आवेशित परावैधुत या अचालक पट्टिका पर प्रति एकांक क्षेत्रफल आवेश (आवेश पृष्ठ घनत्व) `sigma` है | इसे चित्र में दिखया गया है | परत के सामने लम्ब दूरी r पर एक बिंदु P है जिस पर आवेशित परत के कारण विधुत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है | परत के पृष्ठ पर अथवा पृष्ठ के निकटवर्ती विन्दुओं पर विधुत क्षेत्र की दिशा सदैव पृष्ठ के लंबवत होती है, क्योकि यिद विधुत क्षेत्र पृष्ठ के लंबवत नहीं हो तो विधुत क्षेत्र के पृष्ठ के स्पर्शीय दिशा में घटक के कारण आवेशों पर अविरत बल लगेगा जिसके कारण निरंतर गति करने लगेंगे जो कि आवेशित परत की स्थायी अवस्था में संभव नहीं है |
बिंदु P पर परिणामी विधुत क्षेत्र `vec(E)` ज्ञात करने के लिए 2r लम्बाई का III के अनुसार बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करते है | बेलनाकार पृष्ठ के अंदर आवेश की मात्रा

`q=sigmaA" "...(1)`
विधुत फ्लक्स की परिभाषा में गाउसीय पृष्ठ से निर्गत फ्लक्स `sigma` का मान होता है |
`phi=underset(S)(int)vec(E).vec(dA)`
`=underset(S)(int)EdAcos0" "...(2)`
जहाँ `theta`, क्षेत्रफल सदिश `vec(dA)` व विधुत क्षेत्र `vec(E)` के मध्य कोण है | इस बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ को तीन भागों में विभाजित किया गया है -
(1) परत के एक ओर का अंत्य पृष्ठ `S_(2)` जिस पर विधुत क्षेत्र पृष्ठ के लंबवत होता है |
`theta=0` या `costheta=1`
(2) परत के दूसरी तरफ का अंत्य पृष्ठ `S_(2)` जिस पर भी विधुत क्षेत्र पृष्ठ के लंबवत होता है |
`theta=0` या `costheta=1`
(3) बेलनाकार पृष्ठ `S_(3)` जिस पर विधुत्त क्षेत्र पृष्ठ के अनुदिश होता है |
`theta=90^(@)`
`therefore" "cos90^(@)=0`
समीकरण (1) से
`phi=underset(S_1)(int)EdAcostheta+underset(S_2)(int)EdAcostheta+underset(S_3)(int)EdAcostheta`
`=underset(S_1)(int)EdA+underset(S_2)(int)EdA`
`phi=EA+EA`
`phi=2EA" "...(3)`
क्योकि प्रत्येक अंत्य पृष्ठ का कुल क्षेत्रफल A होता है |
गाउस नियम से `phi=(1)/(in)xx` परिबद्ध आवेश
`2EA=(1)/(in_0)xxsigmaA`
या `E=(sigma)/(2in_0)" "...(4)`
यदि आवेशित पृष्ठ के लंबवत एकांक सदिश `hatn` है तो विधुत क्षेत्र का मान सदिश रूप में होगा |