विधुत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु `(r,theta)` पर विभव का व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए | आवश्यक चित्र बनाइये | विधुत द्विध्रुव की निरक्ष रेखा दर से विधुत विभव ज्ञात कीजिए |

Explanation

द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर विभव-

माना द्विध्रुव के +q तथा -q आवेश Z अक्ष पर मूल बिंदु के दोनों तरफ क्रमशः a व -a दूरी पर स्थित है | द्विध्रुव के केंद्र O से दूरी r पर एक बिंदु P है जहाँ पर द्विध्रुव के कारण विधुत विभव का मान ज्ञात करना है,
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, मान OP रेखा Z अक्ष से `theta` कोण बनाती है | यदि द्विध्रुव के आवेशों +q तथा -q से P की दूरियाँ क्रमशः `r_(1)वr_(2)` हो तो +q आवेश के कारण P पर विभव
`V_(1)=(Kq)/(r_1)`
-q आवेश के कारण P पर विभव
`V_(2)=(-Kq)/(r_2)`
`therefore` बिंदु P पर कुल विभव
`V=V_(1)+V_(2)`
`V=(Kq)/(r_1)-(Kq)/(r_2)`
`V=Kq[(1)/(r_1)-(1)/(r_2)]`
`=(Kq[r_(2)-r_(1)])/(r_(1)r_(2))" "...(1)`
P को केंद्र मानकर त्रिज्या r का एक चाप ML खींचते है |
`therefore/_OBM" ""में"" "/_theta=/_BOP`
`approx/_OBMapproxOAL`
`/_BM=/_BO" "Costheta`
`BM=a" "costheta`
इसी प्रकार से `DeltaOAL` में
`AL=AOcostheta`
या `AL=acostheta`
`OP=MP=LP=r`
`because` P की B से दूरी
`r_(1)=BP=MP-BM`
`r_(1)=r-acostheta" "...(2)`
इसी प्रकार से `r_(2)=AP=LP+AL`
`r_(2)=r+acostheta" "...(3)`
समीकरण (2) तथा (3) का मान समी. (1) में रखने पर
`V=Kq[(r+acostheta-r+acostheta)/((r-acostheta)(r+acostheta))]`
`V=(Kq2acostheta)/(r^(2)-a^(2)cos^(2)theta)" "...(4)`
चूँकि `rgtgta` है इसलिए `a^(2)cos^(2)theta` को `r^(2)` के सापेक्ष नगण्य मान सकते है |
`V=(Kq2acostheta)/(r^2)`
`=(Kpcostheta)/(r^2)" "...(5)`
जहाँ `P=2aq` द्विध्रुव आघूर्ण है |
किसी बिंदु पर विधुत द्विध्रुव के कारण विभव इसके वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है |
`thereforevec(P)` तथा `vec(r)` के मध्य कोण `theta` है |
`vec(P).vec(r)=Prcostheta`
`V=(KPrcostheta)/(r^3)`
`=(K(vec(P).vec(r)))/(r^3)`
`V=(K(vec(P).vec(r)))/(r^3)" "...(6)`
द्विध्रुव के निरक्ष पर स्थित बिंदु के लिए
`theta=90^(@)`
`thereforecostheta=cos90^(@)=0`
अतः विधुत विभव V = 0