सिद्ध कीजिए कि संधारित्र में संचित ऊर्जा का मान `(1)/(2)(Q^2)/(C)` होता है और विधुत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व `U=(1)/(2)in_(0)E^(2)` होता है |

Explanation

संधारित्र में संचित ऊर्जा - संधारित्र में दो चालक (माना A व B ) होते है जिन पर आवेश क्रमशः +Q तथा -Q होता है | संधारित्र में संचित ऊर्जा की गणना करने के लिए हम जानते है कि प्रारम्भ में दोनों चालक अनावेशित है | अब माना कि चालक A से चालक B को ऋणावेशित किया जाता है | स्पष्ट है कि चालक A प जितना धन आवेश आयेगा ठीक उतना ही चालक B पर ऋणावेश आयेगा |

किसी संधारित्र को आवेश एक साथ नहीं दिया जाता है | उसकी मात्रा में शून्य से Q आवेश तक थोड़ी मात्रा में वृद्धि करते है | इस कारण संधारित्र का विभव भी शून्य से V तक बढ़ता है | मान कि किसी क्षण संधारित्र का विभव V है और उसे आवेश dq दिया जाता है | V. विभव पर आवेश dq देने के लिए किया गया कार्य dW स्थितिज ऊर्जा के रूप में संधारित्र में संचित हो जाएगा | अतः स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि
`dW=V.dq" "...(1)`
अतः संधारित्र को शून्य से Q आवेश तक आवेश प्रदान करने में स्थितिज ऊर्जा में कुल वृद्धि
`U-SigmadW-SigmaV.dq" "...(2)`
संधारित्र कि प्लेटों को शून्य से +Q आवेश तक आवेशित करने के लिए कुल कार्य कि गणना समीकरण
(1) का q = 0 से q = Q के लिए समाकलन करके प्राप्त करते हे |
अतः `W=Uoverset(Q)underset(0)(int)dW`
समी. (1) से
`W=overset(Q)underset(0)(int)V.dq" "...(3)`
संधारित्र की धारिता C है तो V. विभव के संगत संधारित्र में संचित आवेश
q = CV.
या `V.=(q)/(C)" "...(4)`
समीकरण (3) में (4) से मान रखने पर
`W=overset(Q)underset(0)(int)(q)/(C)dq`
`W=(1)/(C)[(q^2)/(2)]_(0)^(Q)=(1)/(2)(Q^2)/(C)" "...(5)`
समीकरण (5) से Q का मान रखने पर
पुनः `W=(1)/(2)(CV)^(2)xx(1)/(C)`
`W=(1)/(2)CV" "...(6)`
समीकरण (5) से C का मान रखने पर
`W=(1)/(2)(Q^(2)V)/(Q)=(QV)/(2)" "...(7)`
समीकरण (5), (6), (7) आवेशित संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा है |
`U=W=(1)/(2)CV^(2)=(1)/(2)(Q^2)/(C)=(QV)/(2)`
विधुत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व -
संधारित्र से संचित ऊर्जा `U=(1)/(2)(Q^2)/(C)" "...(8)`
लेकिन आवेश घनत्व `sigma=(Q)/(A)`
`Q=sigmaA`
और `C=(in_0A)/(d)`
समीकरण (8) में मान रखने पर
`U=(1)/(2)(sigmaA)^(2)xx(d)/(in_0A)`
`=(1)/(2)(sigma^(2)AD)/(in_0)" "...(9)`
पृष्ठीय आवेश घनत्व `sigma` पट्टिकाओं के बीच विधुत क्षेत्र E से संबंधित है |
`E=(sigma)/(in_0)" "[thereforesigma=Ein_(0)]`
समीकरण (9) में मान रखने पर
`U=(1)/(2)(E^(2)in_(0)^(2)Ad)/(in_0)`
`=(1)/(2)in_(0)E^(2)xxAd" "...(10)`
लेकिन Ad दोनों पट्टिकाओं के बीच के क्षेत्र का आयतन है | यदि हम ऊर्जा घनत्व को दिक्स्थान के प्रति एकांक आयतन में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित करे तो समीकरण (10) के अनुसार विधुत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व `U=(1)/(2)in_(0)E^(2)` होगा |