प्रकाश किरणों के अपवर्तन को परिभाषित कीजिए। दो माध्यमों को पृथक करने वाले किसी गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन के लिये किरण चित्र बनाइए।
किसी गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन हेतु बिम्ब दूरी (u) प्रतिबिम्ब दूरी (v) माध्यम के अपवर्तनांक `(n_(1), n_(2))` तथा वक्रता त्रिज्या (R) में सम्बन्ध `(n_(2))/(v)-(n_(1))/(u)=(n_(2)-n_(1))/(R)` की व्युत्पत्ति कीजिए।

Explanation

प्रकाश किरणों का अपवर्तन
किसी समांगी एवं पारदर्शी माध्यम में प्रकाश की किरणे सीधी रेखाओं में एक ही चाल से चलती है। लेकिन जब प्रकाश की किरण एक पारदर्शी माध्यम से दुसरे पारदर्शी माध्यम में तिर्यक आपतित होकर संचरण करती है तो दोनों माध्यमों को पृथक करने वाले पृष्ठ पर इसके संचरण की दिशा प्रारंभिक दिशा में विचलित हो जाती है इस परिघटना को प्रकाश का अपवर्तन कहते है।
गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन
माना SPS. एक गोलीय अवतल पृष्ठ है जो दो माध्यमों वायु तथा कांच को पृथक करता है इस पृष्ठ का ध्रुव P है तथा वक्रता केंद्र C है

इसकी अक्ष PC पर एक बिन्दु वास्तु O रखी है O से एक आपतित किरण OA, पृष्ठ के बिन्दु A पर गिरती है। जहाँ CAN अभिलम्ब है अपवर्तन के नियमानुसार अपवर्तित किरण AB अभिलम्ब की ओर झुक जाती है दूसरी आपतित किरण OP, पृष्ठ पर अभिलम्बवत गिरती है अतः सीधी चली जाती है ये दोनों अपवर्तित किरणे AB तथा पीछे बढ़ाने पर बिन्दु I पर मिलती है
मान लो कि आपतन कोण `angleOAC=anglei`,
अपवर्तन कोण
`angleBAN=angler,PQ=u,PI=-v,PC=-R`
सही दूरियाँ आपतित प्रकाश किरण की दिशा के विपरीत नापी गई है इसलिए ऋणात्मक है माना कि OA,IA तथा CA मुख्य अक्ष से क्रमशः कोण `alpha,beta,gamma` बनाती है तथा A से मुख्य अक्ष पर खींचे गए अभिलम्ब की ऊँचाई h है।
`DeltaOCA` में `gamma=alpha+i`
`i=gamma-alpha` . . .(1)
`DeltaICA` में `gamma =beta+r`
`r=gamma -beta` . . . (2)
स्नैल के नियमानुसार `eta=(sin i)/(sin r)`
जहाँ `eta` दुसरे माध्यम काँचका पहले माध्यम हवा के सापेक्ष अववर्तनांक है
यदि गोलीय पृष्ठ का व्यास छोटा हो, तो बिन्दु A घ्रुव P के समीप होगा। तब कोण i तथा r छोटे होंगे। यदि i व r रेडियां में नापे जाये तो
`sin i=i` तथा `sin r=r`
`because i/r=eta rArr i = eta r`
इसमें समी . (1) व (2) से i व r के मान रखने पर -
`(gamma-alpha)=eta(gamma-beta)`
अथवा `eta beta-alpha=(eta-1)gamma` . . . . (3)
चूंकि पृष्ठ का व्यास छोटा माना गया है अतः कोण `alpha,beta,gamma` भी छोटे होंगे तथा बिन्दु A और M. ध्रुव P समीप होंगे। अतः
`alpha=tanalpha(AM)/(MO)=(AM)/(PO)=(h)/(-u)`
`beta=tan beta=(AM)/(MI)=(AM)/(PI)=(h)/(-v)`
`gamma = tan gamma=(AM)/(MC)=(AM)/(PC)=(h)/(-R)`
ये मान समीकरण (3) में रखने पर -
`eta(h)/(-v)-(h)/(-u)=(eta-1)(h)/(-R)`
`(eta)/(v)-(1)/(u)=((eta-1))/(R)`
`because" "eta=(eta_(2))/(eta_(1))`
`because(eta_(2))/(eta_(1)v)-1/u=((eta_(2))/(eta_(1))-1)/(R)`
`rArr(eta_(2))/(v)-(eta_(1))/(v)=(eta_(2)-eta_(1))/(R)` . . . (4)
समीकरण (4) से हमें बिम्ब तथा प्रतिबिम्ब के बीच में माध्यम के अपवर्तनांक तथा गोलीय वक्रीय पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या के पदों के रूप में सम्बन्ध प्राप्त होता है समीकरण (4) किसी भी प्रकार के वक्रित गोलीय पृष्ठ के लिए मान्य है।