अवतल दर्पण द्वारा प्रतिबिम्ब रचना का किरण चित्र बनाकर बिम्ब की दूरी (u), प्रतिबिम्ब दूरी (v) तथा फोकस दूरी (f) में सम्बन्ध स्थापित कीजिये।

Explanation

अवतल दर्पण के लिए दर्पण समीकरण - चित्र में लघु कारक के अवतल दर्पण को प्रदर्शित किया गया है। माना उसका ध्रुव P , मुख्य फोकस F , वक्रता केंद्र C तथा फोकस AB दूरी है। एक बिम्ब ( कोई वस्तु ) है जो दर्पण के सामने मुख्य अक्ष XX. पर अनन्त तथा दर्पण के वक्रता केंद्र C के बिक स्थित है। बिम्ब AB के बिंदु A से मुख्य अक्ष के समांतर आपतित किरण AM परावर्तन के पश्चात मुख्य फोकस से गुजरती है तथा एक अन्य किरण वक्रता केंद्र C से होकर आपतित होती है जो परावर्तन के पश्चात MN उसी पथ से गुजरती है तथा एक अन्य किरण AL वक्रता केंद्र C से होकर आपतित होती है जो परावर्तन के पश्चात उसी पथ से गुजरती है। परावर्तित किरणे ML तथा LC परस्पर बिंदु A पर मिलती है तथा
बिम्ब A.B. का प्रतिबिम्ब A.B. बनाती है AB बिम्ब AB वास्तविक प्रतिबिम्ब है ।

चिह्न परिपाटी के अनुसार चित्र से ,
बिम्ब की दूरी `PB = - u `
प्रतिबिम्ब की दूरी `PB = - v`
फोकस दूरी `PF =- f `
वक्रता त्रिज्या `PC = -R = - 2f`
त्रिभुज ABC तथा A.B.C में `angle ABC = angle CB.A = 90^(@)` तथा `angle ACB = angle A.C.B. ` (सम्मुख कोण )
अतः `triangle ABC ` तथा `triangle A.B.C ` समरूप होंगे , इसलिए इनकी भुजाओ का अनुपात बराबर होगा।
अर्थात `(AB)/(A.B.) = (CB)/(B.C)`
चूँकि सभी दूरियाँ दर्पण के ध्रुव से नापी जानी चाहिए।
` :. " " (AB)/(A.B.)= (PB - PC)/(PC - PB.) `
या `(AB)/(A.B.) = (-u-(-2f))/(-2f-(-v))`
या `(AB)/(A.B.) = (-u+2f)/(-2f+v)`
चूँकि दर्पण का द्वारक लघु है अतः MP को एक सरल रेखा माना जा सकता है ।
त्रिभुज MPF तथा A.B.F में
`angle MPF = angle FB.A = 90^(@)` तथा `angle MEP = angle B.EA` (सम्मुख कोण )
अतः `triangle MPF ` तथा `angle A.B.F` समरूप होंगे । इसलिए इनकी भुजाओ का अनुपात बराबर होगा।
अर्थात `(MP)/(A.B.) = (PF)/(FB.) `
या `(AB)/(A.N.) = (-f)/(-v-(-f))`
या `(AB)/(A.B.) = (-f)/(-v+f)" " .....(2)`
` (-u+2f)/(-2f+v) = (-f)/(-v+f)`
या `uv- 2fv - uf +2f^(2) = 2f^(2) - fv `
या `uv - fv - uf = 0 `
या `uv= fv + uf " "....(3)`
समीकरण (3) को uvf से भाग देने पर
`(uv)/(uvf) = (fv)/(uvf) +(uf)/(uvf)`
या `1/f = 1/u +1/v " " ....(4)`
यह अवतल दर्पण के लिए दर्पण सूत्र है।