किसी वैद्युत द्विध्रुव के कारण अक्षीय स्थिति (अनुदैर्घ्य स्थिति) में किसी बिंदु पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक प्राप्त कीजिए।

Explanation

वैद्युत द्विध्रुवय की अक्ष पर स्थित किसी बिंदु पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता (अक्षीय अथवा अनुदैर्घ्य स्थित)- माना AB वैद्युत द्विध्रुवय K परा वैद्युतांक के माध्यम में स्थित है जिसके A सिरे पर +q आवेश तथा B सिरे पर –q आवेश एक दूसरे से 2l दूरी पर स्थित है। इस वैद्युत द्विध्रुव के मध्य बिंदु O से r मीटर की दूरी पर इसकी अक्षीय में कोई बिंदु P है जहां वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करना है।

बिंदु P की आवेश +q से दूरी (r-l) और आवेश –q से दूरी `(r+l)` है। यदि इनके संगत तीव्रताएं क्रमशः `E_(1)` व `E_(2)` हो तों +q आवेश के कारण बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E_(1)=1/(4 pi epsilon_(0)K) q/((r-l)^(2))` (`AtoP` दिशा में)
-q आवेश के कारण बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E_(2)=1/(4 pi epsilon_(0)K) q/((r+l)^(2))` ( `PtoB` दिशा में)
अतः बिंदु P पर वैद्युत द्विध्रुव के कारण परिणामी वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता `E=E_(1)-E_(2)`
`=1/(4 pi epsilon_(0)K) q/((r-l)^(2)) – 1/( 4 pi epsilon_(0)K) q/((r+l)^(2))`
`=1/(4pi epsilon _(0)K) [1/((r-l)^(2))-1/((r+l)^(2))]`
`=q/(4 pi epsilon_(0)K) [((r^(2)+l^(2)+2rl)-(r^(2)+l^(2)2rl))/((r^(2)-l^(2))^(2))]`
`=q/(4 pi epsilon_(0)K) (4 lr)/((r^(2)-l^(2))^(2))=1/(4 pi epsilon_(0)K) (2(2ql)r)/((r^(2)-l^(2))(2))`
परंतु `2q l =p` (वैद्युत द्विध्रुव का आघूर्ण) रखने पर `E=1/(4 pi epsilon_(0) K) (2 pr)/((r^(2)-l^(2))^(2))`
यदि l का मान r की अपेक्षा बहुत कम हो तो `l^(2)` का मान `r^(2)` की तुलना में नगण्य माना जा सकता है।
`E=1/(4 pi epsilon_(0)K)(2pr)/(r^(4))=1/(4 pi epsilon_(0)K)(2p)/(r^(3))` न्यूटन/कूलॉम
यदि वैद्युत द्विध्रुव निर्वात ( अथवा वायु) में रखा है तब K=1 रखने पर बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता।
`E=1/( 4 pi epsilon_(0)) (2p)/(r^(3))` न्यूटन/कूलॉम
इस प्रकार अक्षीय स्थिति में वैद्युत क्षेत्र E की दिशा ऋण आवेश से धन आवेश की ओर को होती है।