किसी वैद्युत द्विध्रुव के कारण निरक्षीय (अनुप्रस्थ) स्थिति में किसी बिंदु पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
अथवा किसी वैद्युत द्विध्रुव के कारण समद्विभाजक लम्ब अक्ष के किसी बिंदु पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
अथवा वैद्युत द्विध्रुव के लिए निरक्षीय स्थिति में वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।

Explanation

वैद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय स्थिति का स्थित किसी बिंदु पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता (निरक्षीय अथवा अनुप्रस्थ स्थिति)- माना AB वैद्युत द्विध्रुव K परावैद्युतांक के माध्यम में स्थित है जिसके A सिरे पर +q आवेश तथा B सिरे पर –q आवेश एक दूसरे से 2l दूरी पर स्थित हहै । इस वैद्युत द्विध्रुव के मध्य बिंदु O से r मीटर की दूरी पर इसकी निरक्षीय स्थिति में कोई बिंदु P स्थित है जहां पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। माना आवेशों +q तथा –q के कारण बिदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रताएं क्रमशः `E_(1)` व `E_(2)` है।

समकोण `Delta AOP` तथा `Delta BOP` से
`AP^(2)=BP^(2)=r^(2)+l^(2)` अथवा `AP=BP=sqrt(r^(2)+l^(2))`
प्रत्येक आवेश से बिंदु P की दूरी `sqrt(l^(2)+l^(2))` है। अतः +q आवेश के कारण बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E_(1)=1/(4 pi epsilon_(0)K) q/((r^(2)+l^(2)))` (`AtoP` दिशा में)
तथा –q आवेश के कारण बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E_(2)=1/(4 pi epsilon_(0)K) q/((r^(2)+l^(2)))` (`PtoB` दिशा में )
चूंकि `E_(1)` व `E_(2)` के मान परस्पर बराबर है पंरतु दिशाएं भिन्न है अतः `E_(1)` व `E_(2)` को AB के समांतरर तथा लम्बवत घटकों में वियोजिजत करने पर AB के लम्बवत घटक `E_(1) sin theta` व `E_(2) sin theta` बराबर व विपरीत होने के कारण एक दूसरे को निरस्त कर देगें, जबकि AB के समांतर घटक `E_(1) cos theta` व `E_(2) cos theta` एक ही दिशा में होने के कारण जुड़ जाएंगें । अतः बिंदु P पर वैद्युत द्विध्रुव के कारण परिणामी वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E=E_(1) cos theta + E_(2) cos theta`
`=1/(4 pi epsilon_(0)K)q/((r^(2)+l^(2))) cos theta + 1/(4 pi epsilon_(0)K)q/((r^(2)+l^(2))) cos theta`
`=1/( 4 pi epsilon_(0)K) q/((r^(2)+l^(2)))(2 cos theta)`
चित्र a से `cos theta =(OA)/(AP)=1/((r^(2)+l^(2))^(1//2))`
अतः `E=1/(4 pi epsilon_(0)K)q/((r^(2)+l^(2)))(2l)/((r^(2)+l^(2))^(1//2))`
`=1/(4pi epsilon_(0)K)(2ql)/((r^(2)+l^(2))^(3//2))`
परंतु 2ql=p (वैद्युत द्विध्रुव का आघूर्ण) रखने पर
`E=1/( 4pi epsilon_(0)K)P/((r^(2)+l^(2))^(3//2))`
यदि l का मान r की अपेक्षा बहुत कम हो तो `l^(2)` का मान `r^(2)` की तुलना में नगण्य माना जा सकता है।
`E=1/( 4 pi epsilon_(0)K)p/((r^(2))^(3//2))=1/(4 pi epsilon_(0)K)p/(r^(3))` न्यूटन/कूलॉम
यदि वैद्युत द्विध्रुव निर्वात अथवा वायु में रखा है तब K=1 रखने पर बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता।
`E=1/(4 pi epsilon_(0) p/(r^(3))` न्यूटन/कूलॉम
इस प्रकार निरक्षीय स्थिति में वैद्युत क्षेत्र E की दिशा धन आवेश से ऋण आवेश की ओर होती है।