स्थिर वैद्युतिकी में गॉसय के प्रमेय का उल्लेख कीजिए तथा इसे सिद्ध कीजिए।

Explanation

गॉस का प्रमेय- इस प्रमेय के अनुसार किसी बंद पृष्ठ A से गुजरने वाला वैद्युत फ्लक्स `phi_(E)`, उसे पृष्ठ द्वारा परिबद्ध (घिरे हुए) कुल आवेश q का`1//epsilon_(0)` गुना होता है।
अतः वैद्युत फ्लक्स `phi_(E)=q(1/(epsilon_(0)))=q/(epsilon_(0))`
परंतु बंद पृष्ठ A से बद्ध कुल वैद्युत फ्लक्स `phi_(E)=ointvecE.dvecA`
अतः `phi_(E)=int_(A)vecE.dvecA=a/(epsilon_(0))`
जहां `epsilon_(0)` निर्वात अथवा वायु की वैद्युशीलता है।
उपत्‍ति- माना कोई बिंदु आवेश +q, किसी बिंदु O पर स्थित है । माना पृष्ठ A पर कोई बिंदु P है जिसकी बिंदु O से दूरी r है। माना पृष्ठ A पर बिंदु P के चारों ओर एक अल्पांश क्षेत्रपुल dA है जिसके संगत क्षेत्रफल वेक्टर `dvecA` है।

जिसकी दिशा बिंदु P पर अल्पांश क्षेत्रफल dA के बाहर की ओर खींचे गए अभिलम्ब के अनुदिश है।
माना बिंदु O पर रखे बिंदु आवेश +q के कारण बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता
` E=1/( 4 pi epsilon_(0) q/(r^(2)) (O to F)`……….1
यदि वैद्युत वेक्टर `vecE` तथा क्षेत्रफल वेक्टर `dvecA` के बीच कोण `theta` है। तो अल्पांश क्षेत्रफल dA से गुजरने वाला बाहर की ओर दिष्ट वैद्युत फ्लक्स
`d theta_(E)=vecE.dA=Ed A cos theta`
समीकरण 1 से E का मान रखने पर
`d phi_(E)=q/(4 pi epsilon_(0)r^(2)) d A cos theta`
`=q/(4 pi epsilon_(0)) (dA cos theta)/(r^(2))` ……………2
परंतु `(dAcos theta)/(r^(2)) =domega`
जहां `d omega` अल्पांश क्षेत्रफल dA द्वारा बिंदु O पर अंतरित घन कोण है। तब समीकरण 2 से `d phi_(E)=q/(4 pi epsilon_(0)) domega`
अतः बिंदु आवेश q के कारण संपूर्ण पृष्ठ A से बाहर की और निकलने वाला वैद्युत फ्लक्स
`phi_(E)=oint d phi_(E)=oint q/(4 pi epsilon_(0)) d omega =q/( 4 pi epsilon_(0)) oint d omega`
परंतु `oint d omega`, संपूर्ण बंद पृष्ठ क्षेत्रफल A द्वारा बिंदु O पर अंतरित कुल घन कोण है अर्थात `oint d omega =4 pi`
अतः `phi_(E)=q/( epsilon_(0))` यही गॉस की प्रमेय है।