गाउस के नियम का उपयोग करते हुए एक असीमित विस्तार वाली समतल चादर के निकट विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिये।

Explanation

गॉस का नियमः
अनन्त विस्तार की समतल आवेशित अचालक प्लेट का कारण वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता- माना अनन्त विस्तार की समतल अचालक प्लेट ABCD के एक तल पर धन आवेश समान रूप से वितरित है। माना इस तल के एकांक क्षेत्रफल पर उपस्थित आवेश की मात्रा `sigma` है।
माना आवेशित तल से r दूरी पर कोई बिंदु P है जहां वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता त करनी है। माना चादर से दूसरी ओर, चादर से समान दूरी r पर एक अन्य बिंदु Q इस प्रकार है कि रेखा PQ चादर के लम्बवत है।
बिंदु P पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करने के लिए हम एक ऐसे बेलनाकार पृष्ठ की कल्पना करते हैं जिसकी अक्ष आवेशित चादर के लम्बवत है। तथा इसके समतल पृष्ठ बिंदु P तथा Q से होकर गुजरते है। माना बेलन के प्रत्येक समतल पृष्ठ का क्षेत्रफल A है। चूंकि बिंदु P तथा Q चादर से समान दूरी पर है अतः दोनों बिंदुओं पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता परिमाण में समान होगी।
बेलन के समतल पृष्ठ हेतु वैद्युत फ्लक्स
`d phi_(P)=dphi_(Q)=vecE.dvecA=Ed A cos 0^(@)=EdA`
तथा बेलन के वक्र पृष्ठ हेतु वैद्युत फ्लक्स
`d_(phi)N=vecE.dvecA=EdA’=cos 90^(@)=0`
अतः बेलनाकार गॉसीय पृष्ठ से गुजरने वाला कुल वैद्यु फ्लक्स
`phi_(E)=phi_(P)+phi_(Q)+phi_(N)`
`phi_(E)=2int vecE.d vecA+intvecE.d vecA`
`=2 int E dA +0`
`=2E int dA =2EA`
परंतु गॉस प्रमेय से
`phi_(E)=1/(epsilon_(0))` (गॉसीय पृष्ठ के भीतर स्थित कुल आवेश)
`=1/( epsilon_(0))` (चादर के क्षेत्रफल A पर आवेश)
`=1/(epsilon_(0)) =2EA` अथवा `E=(sigma)/(2 epsilon_(0))`

बेलन से बद्ध कुल वैद्युत फ्लक्स `=q/(epsilon_(0))`
यदि बेलन के समतल पृष्ठ से बद्ध वैद्युत फ्लक्स `phi_(P)` हो तब बेलन से बद्ध कुल वैद्युत फ्लक्स
`phi_(P)+phi+phi_(P)=q/(epsilon_(0))`
या `2phi_(P)=q/(epsilon_(0))-phi` या `phi_(P)=1/2 (q/(epsilon_(0))-phi)`