R व्यासार्ध और N फेरों वाली I धारा वहन कर रही एक वृत्ताकार कुण्डली के अक्ष पर इसके केंद्र से x दूरी पर किसी बिंदु पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण निम्न समीकरण से प्राप्त होता है
`B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(x^(2)+R^(2))^(3//2))`
(a) सिद्ध करें कि यह कुण्डली के केंद्र पर क्षेत्र के लिए मानक परिणाम में परिवर्तित हो जाता है।
(b) एक दूसरे से R दूरी पर पड़ी बराबर R व्यासार्ध और N फेरों वाली दो समांतर समाक्ष वृत्ताकार कुण्डलियों में बराबर धाराएं एक ही दिशा में बह रही है। सिद्ध करें कि कुण्डलियों के बीच अक्ष पर मध्य बिंदु के निकट क्षेत्र B कुछ दूरी तक, जो R से कम है एकसमान है और इसका लगभग मान `B=0.72 (mu_(0)NI)/R` है।

Explanation

(a) क्योंकि कुण्डली के केंद्र पर x=0 इसलिए
`B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2R^(3))=(mu_(0)NI)/(2R)`
यह कुण्डली के केंद्र पर क्षेत्र के लिए मानक परिणाम है।
(b) `B=(mu_(0)IR^(2)N)/(2(x^(2)+R^(2))^(3//2))=c(x^(2)+R^(2))^(-3//2)`
जहां `C=(mu_(0)IR^(2)N)/2=` एक स्थिरांक
स्पष्ट है कि `(dB)/(dx)=(-3//2)(x^(2)+R^(2))^(-5//2)(2x)`
`=-3cx(x^(2)+R^(2))^(-5//2)`
B को एकसमान होने के लिए
`(dB)/(dx)=` एक स्थिरांक
और परिणामस्वरूप `(d^(2)B)/(dx^(2))=0`
अर्थात `d/(dx)[-3cx(x^(2)+R^(2))^(-5//2)]=0`
या `d/(dx)[x(x^(2)+R^(2))^(-5//2)]=0`
या `x(-5//2)(x^(2)+R^(2))^(-7//2)(2x)+(x^(2)+R^(2))^(-5//2)xx1-0`
या `-5x^(2)(x^(2)+R^(2))^(-7//2)+(x^(2)+R^(2))^(-5//2)=0`
या `(x^(2)+R^(2))^(-7//2)[-5x^(2)+x^(2)R^(2)]=0`
या `(x^(2)+R^(2))^(-7//2)(R^(2)-4x^(2))=0`
या `R^(2)-4x^(2)=0`
या `x^(2)=(R^(2))/4` या `x=+-R/2`
इस प्रकार कुण्डली के केंद्र से R/2 दूरी पर B का दूरी के साथ परिवर्तन दर स्थिर है। स्पष्ट है कि इस शर्त को पूरा करने के लिए दोनों समक्ष कुण्डलियों के बीच दूरी R होनी चाहिए।
दोनों कुण्डलियेां के बीच परिणामी क्षेत्र `=2B`
`=2xx(mu_(0)IR^(2)N)/(2[(R//2)^(2)+R^(2)]^(3//2))=(mu_(0)IR^(2)N)/((5R^(2)//4)^(3//2))`
`=(4/5)^(3//2)((mu_(0)NI)/R)=0.72 mu_(0)(NI)/R`