चित्र में दिखाए गए दो सदिशों A तथा B के बीच का कोण `theta` है। इनके परिणामी सदिश का परिमाण तथा दिशा उनके परिमाणों तथा `theta` के पद में निकालिए।

Explanation

चित्र में सदिश `vecA` व ` vecB` को क्रमशः समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं (adjacent sides) OP तथा OQ द्वारा व्यक्त किया गया है। सदिश `vecA` व `vecB` के मध्य कोण `theta ` है एवं सदिश `vecA` व `vecB` के मध्य कोण `alpha ` है।
सदिश योग के समान्तर चतुर्भुज नियम से `vecR = vecA + vecB`
समकोण त्रिभुज ONS से
`(OS)^ = (ON)^2 + (NS)^2`
`rArr (OS)^2 = (OP + PN)^2 + (NS)^2`
`rArr (OS)^2 = (OP)^2 + (PN)^2 + 2 (OP)(PN)+ (NS)^2`
` rArr (OS)^2 = (OP)^2 + (PN)^2 + (NS)^2 + 2(OP)(PN)` ...(1)
समकोण त्रिभुज PNS से
`(PS)^2 = (PN)^2 + (NS)^2` .....(2)
`cos theta = (PN)/(PS)`
` therefore PN = PS cos theta ` ..(3)
समी. (1), (2) व (3) से
`(OS)^2 = (OP)^2 + (PS)^2 + 2 (OP) (PS cos theta)` ...(3)
`R^2 = A^2+B^2+ 2 (A) (B costheta)`
` rArr R = sqrt(A^2 + B^2 + 2AB cos theta)` ....(4)
समी. (4) को कोज्या-नियम कहते हैं। समकोण त्रिभुज ONS से
`sin alpha = (NS)/(OS)= (NS)/(R )`
` rArr NS = R sin alpha ` ...(5)
समकोण त्रिभुज PNS से
` sin theta = (NS)/(PS) = (NS)/(B)`
` rArr NS = B sin theta ` ...(6)
` therefore ` समी. (5) व (6) से
` R sin alpha = B sin theta`
` rArr (R )/(sin theta) = (B)/(sin alpha)` ...(7)
इसी प्रकार `PM = Asin alpha = B sin beta `
` rArr (A)/(sin beta) = (B)/(sin alpha)` ....(8)
समी.(7) व (8) से
`(R )/(sin theta) = (A)/(sin beta) = (B)/(sin alpha)` ....(9)
समकोण त्रिभुज ONS से
`tan alpha = (NS)/(ON) = (NS)/(OP + PN)`
` = (B sin theta)/(A + B cos theta)`
` rArr tan alpha = (B sin theta)/(A + B cos theta)` ...(10)
समी. (9) को ज्या-नियम कहते है।