निम्नलिखित असमिकाओं की ज्यामिति या किसी अन्य विधि द्वारा स्थापना कीजिए :
(a) `|veca + vecb| lt= |veca|+|vecb|`
(b) `|veca + vecb| lt= ||veca|-|vecb||`
(c ) `|veca - vecb| lt= |veca| + |vecb|`
(d) `|veca - vecb| lt= ||veca|-|vecb||`
इनमें समिका (समता) का चिन्ह कब लागू होता है ?

Explanation

माना कि सदिश `vec(OP) = veca` तथा `vec(OQ) = vecb` तथा इन सदिशों का योग `vec(OR) = veca+vecb`

त्रिभुज के गुणधर्म से त्रिभुज की दो भुजाओं का योगफल उसकी तीसरी भुजा से अधिक होता है।
` therefore ` चित्र की ज्यामिति से
OR ` rArr |veca + | vecb| lt |veca| + |vecb|` ...(i)
जब `veca` व `vecb`एक सरल रेखा में हों तब
`|veca + vecb| = |veca| + vecb|` .....(2)
समी. (1) व (2) से
`|veca+vecb| lt=|veca|+|vecb|`
(b) सिद्ध करना है : `|veca +vecb| gt= ||veca| - |vecb||`
किसी त्रिभुज में एक भुजा अन्य दो भुजाओं के अंतर से अधिक होती है।
चित्र की ज्यामिति से
OR > QR-OQ
` rArr |veca + vecb| gt ||veca| - |vecb||` ...(3)
जब `veca` व `vecb` एक सरल रेखा में हो तब
`|veca + vecb| = ||veca| - |vecb||` ...(4)
समीकरण (3) व (4) से
`|veca + vecb| gt=||veca| - |vecb||`
(c) सिद्ध करना है : `|veca - vecb| lt= |veca| + |vecb|`


`Delta OST` में
OT < OS < ST
` rArr |veca - vecb| lt |-vecb| + |veca|`
` rArr |veca - vecb| lt |veca| + |vecb|` ...(5)
जब `veca` व `vecb` एक सरल रेखा में हो तब
`|veca - vecb| = |veca| + |vecb|` ....(6)
समी. (5) व (6) से
`|veca - vecb| lt=|veca| + |vecb|`
(d) सिद्ध करना है : `|veca - vecb| gt= ||veca| - |vecb||`
` Delta OST` में
` rArr ST lt OS lt OT`
` rArr OT gt ST - OS`
` rArr |veca - vecb| gt ||veca| - |vecb||` ....(7)
जब `veca`व `vecb` एक सरल रेखा में हों तब
` |veca - vecb| = ||veca| - |vecb||` ...(8)
समी. (7) व (8) से
` |veca - vecb| = ||veca| - |vecb||`