किसी खुले मैदान में कोई मोटर चालक एक ऐसा रास्ता अपनाता है जो प्रत्येक 500 m के बाद उसके बांयी ओर `60^@` के कोण पर मुड़ जाता है। किसी दिए मोड़ से शुरू होकर मोटर चालक का तीसरे, छठे व आठवें मोड़ पर विस्थापन बताइए। प्रत्येक स्थिति में मोटर चालक द्वारा इन मोड़ों पर तय की गई कुल पथ-लंबाई के साथ विस्थापन के परिमाण की तुलना कीजिए।

Explanation

यहाँ मोटर चालक द्वारा अपनाया गया पथ एक बन्द षट्कोण है जिसकी भुजा की लम्बाई 500 मीटर हैं। माना मोटर चालक अपनी यात्रा बिन्दु A से प्रारंभ करता है। तीसरे मोड़ के अन्त में वह D पर पहुँचता है, छठे मोड़ के अन्त में A पर तथा आठवें मोड़ के अन्त में C पर पहुँचता है।

(i) तीसरा मोड़-तीसरे मोड़ पर विस्थापन सदिश
`vec(AD) = vec(AB)+ vec(BD)`
` rArr vec(AD) = vec(AB) + vec(BC) + vec(CD)`
चित्र की ज्यामिती से
` AD = sqrt((AB)^2 + (BD)^2)`
` = sqrt( (AB)^2 + (BG + GD)^2)`
` = sqrt((500)^2 + (500 cos 30^@ + 500 cos 30^@)^2)`
` = sqrt( (500)^2 + (2 xx 500 xx (sqrt3)/(2) )^2)`
` = 1000 m = 1 km `
अतः तीसरे मोड़ के अन्त में मोटर चालक का विस्थापन = 1000 मी. A से D की ओर
A से D तक कुल पथ लम्बाई
= AB + BC + CD
=500 + 500 + 500 = 1500 मी. = 1.5 किमी.
`"विस्थापन का परिमाण"/" पथ की कुल लम्बाई " = (1)/(1.5) = 0.67`
(ii) छठा मोड़-छठे मोड़ पर चालक पुनः प्रारंभिक बिन्दु A पर आ जाता है अतः विस्थापन सदिश = शून्य सदिश
|विस्थापन| = 0
कुल पथ लम्बाई= AB+ BC+CD+ DE + EF+FA = 6 x 500 = 3000 मी. = 3 किमी.
`"विस्थापन का पारमाण "/"पथ की कुल लम्बाई" = 0/3 = 0`
(iii) आठवाँ मोड़-आठवें मोड़ पर चालक बिन्दु C पर होता है अतः विस्थापन = `vec(AC)`
सदिश योग के त्रिभुज नियम से
`AC = sqrt((AB)^2 + (BC)^2 + 2(AB)(BC)cos 60^@)`
` = sqrt((500)^2 + (500)^2 + 2(500) (500) (1/2))`
` = sqrt(3 xx (500)^2) = 500sqrt3 m`
`(sqrt3)/(2) km `
दिशा निर्धारण-
माना कि आठवें मोड़ की दिशा AB की प्रांरभिक दिशा से 0 कोण पर है
` therefore tan theta = (500 sin 60^@)/(500 + 500 cos 60^@)`
` = (500 sqrt3//2)/(500 + 500 xx 1//2)`
` = (sqrt3//2)/(3//2) = (1)/(sqrt3) = tan 30^@`
` theta= 30^@` अतः आठवें मोड़ पर चालक का विस्थापन `500sqrt3` मी. दिशा AB की प्रारमिक दिशा से `30^@` पर।
पथ की कुल लम्बाई ` = 8xx500 = 4000` मी. = 4 किमी.
`"विस्थापन का परिमाण"/" पथ की कुल लम्बाई" = (500 sqrt3)/(4000) = (sqrt3)/(8)= 0.22`