संयोजन में क्रम विनिमेय और साहचर्य नियम का पालन होता है, समझाइये।

Explanation

(i) संयोजन में क्रम-विनिमेय नियम-यदि `veca` और `vecb` दो सदिश हों, तो
` veca + vecb = vecb + veca `
उपपत्ति-माना सदिश `veca` और`vecb` को क्रमशः `OvecA` व `AvecB` द्वारा व्यक्त किया जाता है। अतः `vec(OA) = veca` व `vec(AB)= vecb` है। सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा
` vec(OB) = vec(OA) + vec(AB)`
`vec(OB) = veca + vecb` ....(1)

समान्तर चतुर्भुज OABC को पूरा करते हैं जिसकी OA व AB दो संलग्न भुजायें हैं।
` therefore vec(CB) = vec(OA) + veca`
`vec(OC)= vec(AB) = vecb`
पुनः सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा
`vec(OB) = vec(OC)+vec(CB) = vecb +veca` ...(2)
अतः समीकरण (1) और (2) से
`veca + vecb = vecb + veca `
जिससे नियम सिद्ध हो जाता है।
सदिश योग का साहचर्य नियम-यदि `veca,vecb` व `vec c` कोई तीन सदिश हों, तो
`(veca + vecb) + vec c = veca + (vecb+ vecc )`
उपपत्ति-माना सदिशों `veca, vecb`व`vec c` को क्रमशः `vec(OA). vec(AB)` व `vec(BC)` द्वारा व्यक्त किया गया है। अतः
`vec(OA) =veca . vec(AB) = vecb , vec(BC) = vec c ` है।
त्रिभुज OAB व OBC में सदिश योग के त्रिभुज नियम के प्रयोग से

`vec(OB) = vec(OA) + vec(AB)`
` vec(OB) = veca + vecb`
`vec(OC) = vec(OB) + vec(BC)`
`= (vec a + vecb) + vec c` .....(1)
इसी प्रकार त्रिभुज ABC व OAC में सदिश योग की त्रिभुज नियम से
`vec(AC) = vec(AB) + vec(BC)= vecb + vec `
`vec(OC) = vec(OA) + vec(AC)`
` = veca + (vecb + vecc ) ` ...(2)
अतः समीकरण (1) तथा (2) से
`(veca + vecb) + vecc = veca + (vecb + vec)`