दो घर्षणरहित आनत पथ, जिनमे से एक ही ढाल अधिक है और दूसरे की ढाल कम है, बिंदु A पर मिलते है। बिंदु A से प्रत्येक पथ पर एक - एक पत्थर को विरामावस्था से नीचे सरकाया जाता है (चित्र)। क्या ये पत्थर एक ही समय पर नीचे पहुंचेगे ? क्या वे वहाँ एक ही चल से पहुंचगे ? व्याख्या कीजिए। यदि `theta_(1) = 30^(@) , theta_(2) = 60^(@) ` और h = 10 m दिया है तो दोनों पत्थरो की चल एवं उनके द्वारा नीचे पहुंचने में लिए गए समय क्या है ?

Explanation

माना कि पत्थर 1 में उत्पन्न त्वरण `a_(1)` है तब
यदि पत्थर 1 आनत तल AB पर फिसलने में `t_(1)` समय लेता है ,
तब
`AB = 0 +(1)/(2) a_(1)t_(1)^(2)` [` = ut +(1)/(2) at^(2)` ]
`rArr (h)/(sin theta_(1)) = (1)/(2) xx g sin theta_(1) xx t_(1)^(2)` [`:. sin theta_(1) = (h)/(AB)` ]
`rArr t_(1)^(2) = (2 h)/( g sin ^(2) theta_(1))`
`rArr t_(1) = (1)/(sin theta_(1)) sqrt((2h)/(g))` . . . (1)
इसी प्रकार पत्थर 2 के लिए
`t_(2) = (1)/(sin theta_(2)) sqrt((2h)/(g))` . . . (2)
दोनों पत्थरो के लिए समान है।
`:. theta_(1) lt theta_(2)`
`:. sin theta_(1) lt sin theta_(2)`
`:.` समी (1) व (2) से `t_(1) gt t_(2)`
इसी प्रकार पत्थर 2 धरातल पर पत्थर 1 कि तुलना में पहले पहुंचेगा अब क्योकि दोनों पत्थर प्रारंभ में समान ऊंचाई h से फिसलते है। अतः
बिन्दु A पर स्थितिज ऊर्जा = बिन्दु B अथवा C पर गतिज ऊर्जा
`rArr mgh = (1)/(2) mv^(2)`
`rArr v = sqrt(2 gh)` . . . (3)
अतः दोनों पत्थर धरातल पर एक ही चल से पहुंचेगे
`:.` दिया गया है - `theta_(1) = 30^(@) , theta_(2) = 60^(@) , h = 10` मी.
`:. ` समी. (1) से
`t_(1) = (1)(sin theta_(1)) sqrt((2h)/(g)) = (1)/(sin 30^(@)) sqrt((2 xx 10)/(9 . 8))`
`= (1)/(1//2) sqrt((20)/(9 . 8)) = 2 xx sqrt(2 . 04)`
= 2 . 86 सेकण्ड
समी. (2) से `t_(2) = (1)/(sin theta_(2)) sqrt((2h)/(g)) = (1)/(sin 60^(@)) sqrt((2 xx 10)/(9 . 8))`
`= (1)/(sqrt(2) //2) xx sqrt(2 . 04)`
`= (2)/(sqrt(3)) xx sqrt(2 . 04) = 1.65` सेकण्ड
समी. (3) से
`v = sqrt(2gh) = sqrt(2 xx 9 . 8 xx 10) = 14` मी. / से