संलग्न चित्र में ABC एक चिकना वक्र पथ है जिसका B से आगे का भाग r त्रिज्या के उर्ध्व वृत्त के रूप में है । इस पथ पर एक गेंद को कितनी न्यूनतम ऊँचाई से छोड़ा जाये कि b वह पथ के संपर्क में रहते हुए उच्चतम बिंदु C को पार कर जाये ? ।

Explanation

माना कि गेंद , जिसका द्रव्यमान m है। बिन्दु A से छोड़ी जाती है जिसकी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h है। A से B तक गेंद का वेग बढ़ेगा B से C तक घटेगा तथा C से आगे पुनः बढ़ने लगेगा । परन्तु बिन्दु C पर गेंद के कम से कम इतना वेग अवश्य रहना चाहिये कि इस बन्दु पर आवश्यक अभिकेन्द्र बल गेंद के भार के बराबर हो अन्यथा गेंद बिन्दु Cपर अपना पथ छोड़ देगी |
माना कि बिन्दु C पर गेंद का वेग v है तब
`(mv^(2))/(r) = mg` . . . (1)
बिन्दु A पर गेंद कि स्थितिज ऊर्जा mgh है था बिन्दु C पर mg (2r) है ऊर्जा संरक्षण के नियमानुसार , स्थितिज ऊर्जा की यह हानि mg (h - 2r) बिन्दु C पर गेंद कि गतिज ऊर्जा `(1)/(2) mv^(2)` के बराबर होगी।
`mg (h - 2r) = (1)/(2) mv^(2)` . . . (2)
समी. (1) व (2) को हल करने पर
`= (5)/(2) r`