किसी डोरी पर कोई प्रगामी गुणावृत्ति तरंग इस प्रकार व्यक्त की गई है।
`y(x, t)=7.5sin(0.0050x+12t+(pi)/(4))`
(a) x = 1cm तथा t = 1s पर किसी बिन्दु पर विस्थापन तथा दोलन की चाल ज्ञात कीजिए क्या यह चाल तरंग संचरण की चाल के बराबर है।
(b) डोरी के उन बिन्दुओं की अवस्थिति ज्ञात कीजिए जिनका अनुप्रस्थ विस्थापन तथा चाल उतनी ही है। जितनी x = 1cm पर स्थिति बिन्दु की समय t=2s, 5s तथा 11s पर है।

Explanation

दिया है-समीकरण `y(x, t) = 7.5 sin (0.0050x+ 12t + (pi)/(4))` ....(1)
(a) x = 1 सेमी (तथा t = 1से.) पर स्थित बिन्दु का विस्थापन-
`y(1,1) = 7.5 sin (0.0050 xx 1+12+ (pi)/(4))`
`=7.5sin (12.0050+(pi)/(4))`
`(12.0050+ (pi)/(4)) "रेडियन" = [(12,0050+(pi)/(4)) xx (180)/(pi)]^(0)` `= [687.55 + 45]^(0)=732.55^(@)` तथा `sin (732.55^(@)) =sin (720+ 12.55^(@))`
`= sin 12.55^(@)=0.2173` (सारणी से)
अतः `y(1, 1)= 7.5 xx 0.2173`
= 1.629 सेमी. 1,63 सेमी.
तथा वेग- समी. (1) का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर कणका वेग (या दोलन चाल)
`v=(dy)/(dt)=(d)/(dt)[7.5 sin (0.0050 x+12t+(pi)/(4))]`
या `v=7.5 xx 12cos(0.0050x+12t+(pi)/(4))`
x=1 एवं t = 1 पर
`v=7.5 xx 12 cos (0.0050 + 12 + (pi)/(4))`
`= 90 cos (732.55^(@))`
या दोलन चाल `v= 90 cos (12.55^(@))=9 xx 0.9765`
`= 87.89 "सेमी" // "से."`
पुनः समीकरण (1) की मानक समीकरण `y =asin (omega t + Kx + phi)` से तुलना करने पर
`omega=12 "रेडियन" // "से."`, K = 0.0050 प्रति सेमी.
अतः तंरग संचरण की चाल
`v=(omega)/(K)=(12)/(0.0050) =2400 "सेमी." // "से."`
`= 24 "मी." // "से."` स्पष्ट x=1 सेमी. पर स्थित बिन्दु की। t = 1 से. पर दोलनी चाल, तरंग संचरण की चाल के समान नहीं है।
(b) किसी बिन्दु से `+- lambda, +- 2lambda, +- 3lambda.....+ nlambda` दूरियों पर स्थित बिन्दुओं पर एक समान विस्थापन एवं चाल होती है।
`:. lambda=(2pi)/(K)=(2pi)/(0.0050)=(2 xx 3.14)/(0.0050)`
= 1256 सेमी. = 12.56 मी.
अतः x = 1 सेमी = 0.01 मी. से अन्य ऐसे बिन्दुओं की स्थिति `+- 12.56` मी., `+- (2 xx 12,56)` मी. (`+- 3 xx 12.56`) मी. ....... (`+- n xx 12.56`) मी. दूरियों पर होगी।