वैधुत द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा दीजिए तथा वैधुत द्विध्रुव की अक्षीय स्थिति में स्थित बिन्दु पर वैधुत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक प्राप्त कीजिए ।

Explanation

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता - किसी विद्युत क्षेत्र के किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता को उस बिन्दु पर रखे इकाई धनावेशित पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
`vecE=vecF/q_0` यहाँ, `vecE` = विद्युत् तीव्रता `vecF` = परीक्षण आवेश `q_0` पर लगने वाला बल।
`q_0` = परीक्षण आवेश
किसी विद्युत दिवध्रुव के दोनों आवेशों के केन्द्रो को मिलाने वाली रेखा को अक्षीय रेखा कहते है।
+q तथा -q आवेशों से बने एक विद्युत दिवध्रुव पर विचार करते है। दिवध्रुव की लम्बाई 2l है।

दिवध्रुव की अक्षीय रेखा पर दिवध्रुव के केंद्र O से r दूरी पर स्थित किसी बिंदु P पर विचार करते है। माना की बिंदु P पर एक इकाई धनावेश को रखा गया है।
अब +q आवेश के कारण बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`vecE = 1/(4piepsilon_0)। q/(BP^2)`, (+) x- अक्ष के अनुदिश = `1/(4pi in_0) q/(r-l)^2 hati`
-q आवेश के कारण बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`vecE=1/(4pi in_0) q/(AP^2)` , (-) x- अक्ष के अनुदिश
`=1/(4 pi in_0) q/(r+l)^2 (hati) =(-1) /(4pi in_0) q/(r+l)^2 hati`
`=q/(4pi in_0) [1/(r-l)^2 -1/(r+l)^2]=q/(4pi in_0) [((r+l)^2-(r-l)^2)/(r^2-l^2)^2]`
`=q/(4piin_0)[(r^2+l^2+2rl-r^2-l^2+2rl)/(r^2-l^2)^2]`
`=q/(4piin_0)[(4rl)/(r^2-l^2)]=1/(4pi in_0) (2rl (qxx2l))/(r^2-l^2)^2`
अब (q x 2l) =p ( यहाँ p दिवध्रुव आघूर्ण है ) `E=(2rp)/(4pi in_0 (r^2-l^2)^2)`
यहाँ `vecp` की दिशा (+) x- अक्ष के अनुदिश है अतः दर्शाए गए विद्युत दिवध्रुव की अक्षीय रेखा पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (+) x - अक्ष के अनुदिश होगी।
सदिश रूप में , `vecE=(2rvecp)/(4pi in_0 (r^2-l^2)^2)`
विशेष स्थिति - यदि `r gt gt l` अथार्थ प्रेषण बिन्दु लम्बाई की तुलना में बहुत अधिक दूरी पर स्थित हो या दिवध्रुव बहुत हो तो उपरोक्त समीकरण में `r^2` की तुलना में `l^2` को नगण्य माना जा सकता है। अतः
`vecE=(2r vecp)/(4pi in_0 r^4)=(2vecp)/(4pi in_0 r^3) rArr। vecE। =E prop 1/r^3`