विद्युत फॉक्स का परिभाषित करें गोम के प्रमय को लिखे तथा उसे प्रमाणित करें।

Explanation

वैद्युत फ्ल्वस - किसी पृष्ठ से सम्बद्ध वैद्युत फ्लक्स को उस पृष्ठ से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओ की कुल संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय निरूपण -माना कि विद्युत क्षेत्र `vec(E)` में एक पृष्ठीय क्षेत्रफल S है और `d vec(S)` एक लघु क्षेत्रफल अवयव है । यदि `vec(E)` एवं `vec(dS)` के बीच का कोण `theta` हो, तो क्षेत्रफल अवयव पर विद्युत फ्लक्स `d phi = vec(E) .vec(dS)` द्वारा व्यक्त होता है। अंत `phi = int d phi = int vec(E).vec(dS)`

अंत कुल वैद्युत फ्लक्स, किसी विद्युत क्षेत्र में किसी पृष्ठ से होकर गुजरने वाले विद्युत क्षेत्र का पृष्ठीय समाकलन होता है।
प्रमाण-बिंदु O पर स्थित एक विलगित बिंदु आवेश +q है । माना पृष्ठ S किसी त्रिज्या r का गोला है। यह पृष्ठ गऊसीयन पृष्ठ कहलाता है।

माना इस पृष्ठ पर अल्पांश `vec(dS)` से गुजरने वाला फ्लक्स `d theta` है।
अंत `d theta= vec(E).vec(dS) = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/(r^(2)) hat(r) . vec(dS)`
माना `vec(dS)` के अनुदिश एकांश सदिश `hat(n)` है।
अंत `d phi = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/(r^(2)) hat(r).vec(dS)` या `d phi = ((1)/(4pi epsi_(0)) (qds)/(r^(2))) hat(r). vec(n)`
चूँकि `hat(r)` तथा `vec(n)` एक ही दिशा में अनुदिश है इसलिए `theta= 0`
`:. hat(r). hat(n) = r n cos theta= 11 cos theta : hat(r) . hat(n) = 1` अंत `d phi = (1)/(4pi epsi_(0)) (qds)/(r^(2))`
अब सम्पूर्ण बंद पृष्ठ (S) पर विद्युत फ्लक्स `phi = underset(S)(oint) d phi = underset(S)(oint) vec(E). vec(dS) = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/(r^(2)) int ds`
पंरतु `oint ds` त्रिज्या के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल `=4pi r^(2)`
`:. phi = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/(r^(2)) xx 4pi r^(2) = (q)/(epsi_(0))`
अंत `phi = oint E. ds = (q)/(epsi_(0))` प्रमाणित हुआ