What is `int(dx)/(x(x^7+1))` equal to?

Options

A. `(1)/(2) ln |(x^(7) -1)/(x^(7) + 1)| + c`
B. `(1)/(7) ln |(x^(7) + 1)/(x^(7))| +_c`
C. `ln |(x^(7) -1)/(7x)| +c`
D. `(1)/(7) ln |(x^(7))/(x^(7) + 1)| + c`

Answer

D

Explanation

`int (dx)/(x(x^(7) + 1)) = int (x^(6))/(x^(7)(x^(7) + 1)).dx`
Let `x^(7) = t`
`rArr 7x^(6).dx = dt rArr x^(6) dx = (dt)/(7)`
Then `int (x^(6) dx)/(x^(7) (x^(7)+ 1)) = (1)/(7) int (dt)/(t(t + 1))`
`= (1)/(7) [int (1)/(t) dt - int (1)/(t + 1) dt]`
`= (1)/(7)[l n |t| - l n |t + 1|] + c`
`= (1)/(7) l n |(t)/(t + 1)| + c`
`= (1)/(7) l n |(x^(7))/(x^(7) + 1)| + c`