अधिकतम शक्ति प्रमेय बताएँ और सिद्ध करें कि अधिकतम शक्ति देते हुए बैटरी की दक्षता केवल `50%` है।

Explanation

आइए विद्युत वाहक बल `epsi` और आन्तरिक प्रतिरोध r वाली धारा का एक स्रोत (जैसे बैटरी) ले जो चित्र `6.34` के अनुसार R प्रतिरोध बाले एक शुद्ध प्रतिरोधक उपकरण (लोड) से जुड़ा हुआ है।
क्योंकि R और r श्रेणीक्रम में जुड़े है, इसलिए परिपथ में कुल प्रतिरोध ` = R + r` यदि परिपथ में बहती धारा I हो, तो ओम के नियम के अनुसार
`I = epsi/(R + r) ` ....(i)
यदि R के सिरों पर विभवान्तर V हो, तो
`V = IR` ....(ii)
लोड को दी गई शक्ति, निर्गत शक्ति P कहलाती है। स्पष्टतया,
`P = VI = (IR) I = I^(2) R` ....(iii)
समीकरण (i) और (iii) से
`P = (epsi^(2)R)/((R + r)^(2)) ` ....(iv)
निर्गत शक्ति P को अधिकतम होने के लिए `(R + r)^(2) ` कम से कम होना चाहिए। क्योंकि
`(R + r)^(2) = (R - r)^(2) + 4 Rr`,
इसलिए `(R + r)^(2)` को कम से कम होने के लिए `(R - r)^(2)` को भी कम से कम होना चाहिए। किसी वर्ग राशि का कम से कम मान शून्य होता है,
इसलिए `(R - r)^(2) = 0 ` या R = r
अधिकतम शक्ति निर्गत
`P_("अधिकतम ") = (epsi^(2) R)/((r + R)^(2)) = epsi^(2)/(4 r) ` .....(v)
इस प्रकार स्रोत द्वारा लोड को दी गई शक्ति अधिकतम तब होती है जब लोड प्रतिरोध, स्रोत के आन्तरिक प्रतिरोध के बराबर होता है। यह अधिकतम शक्ति प्रमेय का कथन`**` है।
दक्षता,`eta`
क्योकि निवेशित शक्ति `= epsi I ` और निर्गत शक्ति `= VI`, इसलिए
`eta = (VI)/(epsi I) = V/epsi = (I R)/(I (R + r)) = R/(R + r) `
जब बैटरी अधिकतम शक्ति दे रही होती है, तो `R = r` और `eta = r/(r + r) = 1/2 = 50%`
इस प्रकार अधिकतम धारा दे रहे धारा के स्रोत (अर्थात् बैटरी) की दक्षता केवल `50%` होती है।