द्रव्यमान M तथा त्रिज्या R की एक पतली डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान `sigma (r ) =kr ^(2)` है जहाँ । केन्द्र से दूरी है। डिस्क के केन्द्र से जाने वाली तथा इसके लम्बवत् अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण होगा

Options

A. `(MR ^(2))/( 6)`
B. `(MR ^(2))/( 3)`
C. `(2MR ^(2))/( 3)`
D. `(MR ^(2))/( 2)`

Answer

C

Explanation

`I _("Disc") = int _(0) ^(R) (dm ) r ^(2) implies I _("Disc") = int _(0) ^(R) ( sigma 2 pi r dr ) r ^(2)`
`I _("Didc") = int_(0) ^(R) (kr ^(2) 2pi r dr ) r ^(2)` डिस्क का द्रव्यमान
`I _("Disk") = 2pi k int _(0) ^(R) r ^(2) dr " " M = int _(0) ^(R) 2pi r dr kr ^(2)`
`I _("Disk") = 2 pi k ((r ^(6))/( 6 )) _(0) ^(R) " " M=2 2pi k int _(0) ^(R) r ^(3) dr`
`I _("Disc") = 2 pi k ( R ^(6))/( 6) " " M = 2pi k (r ^(4))/( 4) |_(0) ^(R) implies M =2pi k (R ^(4))/( 4)`
`I _("Disc") = (pi k R ^(6))/( 3) = ((pi k R ^(4))/( 2)) ( R ^(2) 2 )/( 3)`
` I _("Disc") = (M2R ^(2))/( 3)`
`I_("Disc") = 2/3 MR ^(2).`