एक केबिन (कक्ष) मुक्त रूप गिर रहा है। इसके अन्दर एक M द्रव्यमान एवं R त्रिज्या की चकती को बाह्य बलों की सहायता से शुद्ध घूर्णन गति कराई जाती है। केबिन के अन्दर क्षैतिज दिशा में हवा चल रही है जो केबिन में स्थित सभी वस्तुओं को क्षैतिज दिशा में a त्वरण प्रदान करती है (चकती अब भी शुद्ध घूर्णन गति करती है)। चकती के बिन्दु P से एक छोटा कण अलग होता है और कुछ समय पश्चात् वह चकती के केन्द्र O से गुजरता है।

कण को P से O तक पहुँचने में समय लगेगा

Options

A. `4/3 sqrt((15R)/(8a))`
B. `4sqrt((6R)/(7a))`
C. `3sqrt((6R)/(7a))`
D. `3/4sqrt((15R)/(8a))`

Answer

A

Explanation

सर्वप्रथम इस स्थिति को केबिन के सापेक्ष हल करते हैं। कण का केबिन के सापेक्ष त्वरण a क्षैतिज दिशा में दायीं ओर होगा तथा त्वरण का ऊर्ध्वाधर कण शून्य होगा। माना चकती का कोणीय वेग `omega`, इसके द्रव्यमान केन्द्र का वेग v तो शुद्ध घूर्णन गति में
`v-Romega=0` अर्थात् `v=Romega`
कण का प्रारम्भिक वेग
`u_p=(v-Romegacos 37^@)i+(Romega sin 37^@)j`
`=(Romega)/5i + (3Romega)/5j`
इच्छित स्थिति हेतु कण की अन्तिम स्थिति का स्थिति सदिश

`r=(R sin 37^@+vt)i+(R cos 37^@)j`
जहाँ P से O तक पहुँचने का समय t है।
`R cos 37^@ = (3R omega)/5 t`
`rArr t=4/(3omega)`
`R sin (37^@+vt)=((Romega)/5)t+1/2at^2`
जहाँ `v=Romega`
`rArr omega=sqrt((8a)/(15R))`
`t=4/3xxsqrt((15R)/(8a))`
t समय में चक्करों की संख्या `n =(omegat)/(2pi)=2/(3pi)`