एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार पात्र में रखी एक आदर्श गैस का द्रव्यमान M के स्वतन्त्र रूप से गतिशील पिस्टन को आधार देती है पिस्टन और बेलन के अनुप्रस्थ-परिच्छेद क्षेत्रफल एकसमान A हैं जब पिस्टन साम्यावस्था में है, तब गैस का आयतन `V_0` है और इसका दाब `p_0` है। पिस्टन को इसी साम्यावस्था स्थिति से थोड़ा-सा विस्थापित किया जाता है और फिर छोड़ दिया जाता है। यह मान लें कि निकाय अपने परिवेश से पूर्णतः रोधी है तब पिस्टन किस आवृत्ति की सरल आवर्त गति करेगा?

Options

A. `1/(2pi)(A_gamma p_0)/(V_0M)`
B. `1/(2pi)(V_0 M p_0)/(A^2 gamma)`
C. `1/(2pi) sqrt((A^2 gamma p_0)/(MV_0))`
D. `1/(2pi) sqrt((MV_0)/(A_gamma p_0))`

Answer

C

Explanation

पिस्टन पर आरोपित दाब

`(Mg)/A=p_0`
`Mg=p_0A`…(i)
चूँकि निकाय, दाब से पूर्णत: पृथक है अत: यह रुद्धोष्म प्रक्रम होगा ।
`p_0V_0^gamma=pV^gamma`
`p_0 Ax_0^gamma = pA(x_0-x)^(gamma)`
`p=(p_0x_0^gamma)/(x_0-x)^gamma`
माना पिस्टन x दूरी विस्थापित होता है, तब
`Mg-((p_0x_0^gamma)/(x_0-x)^gamma)A=F_"प्रत्यानयन"`
`p_0A (1-x_0^gamma/(x_0-x)^gamma)=F_"प्रत्यानयन" " " (x_0-xapprox x_0)`
`F=-(gamma p_0Ax)/x_0`
`therefore F=1/(2pi)sqrt((gammap_0A)/(x_0M))=1/(2pi) sqrt((gammap_0A^2)/(MV_0))`