What is the value of the determinant `|{:(a-b,b+c,a),(b-c,c+a,b),(c-a,a+b,c):}|`?

Options

A. `a^(3) + b^(3) + c^(3)`
B. 3bc
C. `a^(3) + b^(3) + c^(3) - 3 abc`
D. `0`

Answer

C

Explanation

Given `|{:(a-b,b+c,a),(b-c,c+a,b),(c-a,a+b,c):}|`
`C_(1) rarr C_(1)-C_(3)`
`=|{:(-b,b+c,a),(-c,c+a,b),(-a,a+b,c):}|`
`C_(2) rarr C_(2) + C_(1)`
`=|{:(-b,c,a),(-c,a,b),(-a,b,c):}|=(-1)|{:(b,c,a),(c,a,b),(a,b,c):}|`
`=-1 [b(ac-b^(2))-c(c^(2)-ab)+a(bc-a^(2))]`
`=-[abc-b^(3)-c^(3)+abc+abc-a^(3)]`
`=a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc`.