एक बेलन जिसका द्रव्यमान M, लम्बाई L तथा त्रिज्या R हैं। यदि इसका जड़त्व आघूर्ण, इसके केन्द्र से जाने वाले तथा इसके केन्द्र के लम्बवत् अक्ष के परित: न्यूनतम है, तब अनुपात L/R बराबर है

Options

A. `3//2`
B. `2//3`
C. `sqrt(2//3)`
D. `sqrt(3//2)`

Answer

D

Explanation

बेलन का जड़त्व आघूर्ण बेलन के अक्ष के लम्बवत्, तथा इसके केन्द्र से जाने वाले अक्ष के परितः
`l=M((R^(2))/(4)+(L^(2))/(12))" "....(i)`
यदि `rho` बेलन का आयतन घनत्व है, तब
`M=(piR^(2)L)rho=` नियतांक `" "….(ii)`
`:.L=(M)/(piR^(2)rho)`
समी (i) में रखने पर
`l=M((R^(2))/(4)+(M^(2))/(12pi^(2)R^(4)rho^(4)))`
l के न्यूनतम होने के लिए, `(dl)/(dR)=0`
`(dl)/(dR)=M((R)/(2)-(M^(2))/(3pi^(2)R^(5)))=0`
`(R)/(2)=(M^(2))/(3pi^(2)rho^(2)R^(5))`
या `R^(6)=(2M^(2))/(3pi^(2)rho^(2))`
समी (ii) से, `R^(6)=(2pi^(2)R^(4)L^(2)rho^(2))/(3pi^(2)rho^(2))`
या `R^(2)=(2)/(3)L^(2)" या "(L^(2))/(R^(2))=(3)/(2)" या "(L)/(R)=sqrt(3//2)`