एक त्रिज्या R तथा लम्बाई l के एक समान बेलन का उसके अभिलम्ब द्विभाजक के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण I है। जड़त्व आघूर्ण के निम्नतम मान के लिए अनुपात `I//R` क्या होगा?

Options

A. `sqrt(3/2)`
B. `(sqrt3)/(2)`
C. 1
D. `(3)/(sqrt2)`

Answer

A

Explanation

ठोस बेलन की लम्बाई के अभिलम्ब द्विभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण,
`l=M((l^2)/(12)+(R^2)/(4))`
`implies l=(mR^2)/(4)+(ml^2)/(12)`
`=(m^2)/(4pi rhol)+(ml^2)/(12)` `[because rho pi R^2l=m]`
l के अधिकतम मान के लिए
`(dl)/(dl)=-(m^2)/(4 pi rho)((1)/(l^2))+(ml)/(6)=0`
`implies (m^2)/(4 pi rho)=(ml^3)/(6)`
`implies l^3=(3m)/(2 pi rho)`
`implies l=(3/2)^(1//3)((m)/(pi rho))^(1//3)`
`rho=(m)/(pi R^2 l)`
`implies R^2(m)/(pi rho l)`
`implies R^2=(m)/(pi rho)(2/3)^(1//3)((pi rho)/(m))^(1//3)`
`=(m)/(pi rho)^(2//3)(2/3)^(1//3)`
`implies R=((m)/(pi rho))^(1//3)(2/3)^(1//6)`
`l/R=((3/2)^(1//3)((m)/(pi rho))^(1//3))/(((m)/(pi rho))^(1//3)(2/3)^(1//6))=(3/2)^(1//3)+(3/2)^(1//6)`
` therefore l/R=sqrt(3/2)`