If `veca, vecb, vecc` are three given non-coplanar vectors and any arbitrary vector `vecr` in space, where `Delta_(1)=|{:(vecr.veca,vecb.veca,vecc.veca),(vecr.vecb,vecb.vecb,vecc.vecb),(vecr.vecc,vecb.vecc,vecc.vecc):}|,Delta_(2)=|{:(veca.veca,vecr.veca,vecc.veca),(veca.vecb,vecr.vecb,vecc.vecb),(veca.vecc,vecr.vecc ,vecc.vecc):}|`
`Delta_(3)=|{:(veca.veca,vecb.veca,vecr.veca),(veca.vecb,vecb.vecb,vecr.vecb),(veca.vecc,vecb.vecc,vecr.vecc):}|, Delta=|{:(veca.veca,vecb.veca,vecc.veca),(veca.vecb,vecb.vecb,vecc.vecb),(veca.vecc,vecb.vecc,vecc.vecc):}|,`` "then prove that " vecr=(Delta_(1))/Deltaveca+(Delta_(2))/Deltavecb+(Delta_(3))/Deltavecc`

Explanation

`Delta_(1)= |{:(vecr.veca,vecb.veca,vecc.veca),(vecr.vecb,vecb.vecb,vecc.vecb),(vecr.vecc,vecb.vecc,vecc.vecc):}|=[vecrvecb vecc] [veca vecb vecc]`
`Delta_(2)=|{:(veca.veca,vecr.veca,vecc.veca),(veca.vecb,vecr.vecb,vecc.vecb),(veca.vecc,vecr.vecc,vecc.vecc):}|=[vecrveccveca] [veca vecb vecc]`
`Delta_(3)=|{:(veca.veca,vecb.veca,vecr.veca),(veca.vecb,vecb.vecb,vecr.vecb),(veca.vecc,vecb.vecc,vecr.vecc):}|= [vecrveca vecb][veca vecb vecc]`
`Delta=|{:(veca.veca,vecb.veca,vecc.veca),(veca.vecb,vecb.vecb,vecc.vecb),(veca.vecc,vecb.vecc,vecc.vecc):}|=[vecavecb vecc]^(2)`
Now `vecr =xveca + yvecb=zvecc`
taking dot product with `veca xx vecb`, we have
`vecr.(vecaxxvecb)=zvecc.(vecaxxvecb)`
`Rightarrow z= ([vecrveca vecb])/([veca vecbvecc])=Delta_(3)/Delta`
similarly,` x = Delta_(1)/Delta and y = Delta_(2)/Delta`
`Rightarrow vecr= Delta_(1)/Deltaveca+Delta_(2)/Deltavecb+Delta_(3)/Deltavecc`