माना `f(x) = {{:((8^(x)-4^(x) -2^(x)+1)/x^(2), x gt 0),(e^(x) sin x + pi x + kln4, x lt 0):}` है। `k` कीजिए ताकि फलन `x =0` पर संतत् हो सके।

Answer

`f(0) = (ln4(ln2)`

Explanation

चूंकि `x =0` पर संतत के लिए इसकी दायी सीमा, बायीं सीमा तथा `x =0` पर फलन का मान , तीनो बराबर होने चाहिए

अतः

` underset (x to 0^ - ) lim f(x)``= underset (x to 0 ^+ ) lim f(x)`

` underset (x to 0^ - ) lim e^(x) sin x + pi x + kln4`

`" "=underset (x to 0 ^+ ) lim (8^(x)-4^(x) -2^(x)+1)/x^(2)`

` kln2^2``=underset (x to 0^ + ) lim (2^(3x)-2^(2x) -2^(x)+1)/x^(2)`

` 2kln2``=underset (x to 0^ + ) lim (2^(2x)(2^(x)-1)-1( 2^(x)-1))/x^(2)`

` kln2``=underset (x to 0^ + ) lim ((2^(2x)-1)( 2^(x)-1))/(2x.x)`

`underset (x to^ 0 ) lim (e^x-1)/x=lne, `

यहाँ `(2^x-1)/x=ln2`

तथा ` (2^(2x)-1)/(2x)=ln2`

` kln2``=underset (x to 0^ + ) lim ln2xxln2`

`k=ln2`