`f(x) ={{:(|x+1|, x lt -2),(2x+3, -2 le x lt 0),(x^(2)+3, 0 le x lt 3),(x^(3)-15, x ge 3):}` की सातत्यता की जाँच कीजिए।

Answer

अतः `f(x), x = 3` पर संतत् है `f(x), x =- 2` को छोड़कर R के सभी बिन्दुओं पर संतत् है।

Explanation

प्रश्न से फलन `f(x)` निम्न अंतरालों में दिया गया हैं

`(-oo, -2), (-2, 0), (0, 3),(3, oo)`

हमे इसके अन्तः बिंदु `-2, 0, 3` पर फलन के संततता की जांच करनी हैं

(i) ` x= -2` पर सांतत्य

`L.H.L `

`=lim_(x to -2^ - ) f(x) `

` = lim _( x to -2 ^- ) (-x-1) `

`= -(-2)-1`

`=1 `

`R.H.L `

`= lim _( x to -2 ^+) f(x) `

` = lim _( x to -2^ +) { 2x+3 } `

`=2(-2)+3`

`=-1`

`f(-2)`

`=2(-2)+3`

`=-1`

`:. L.H.L ne f(-2) = R.H.L `

अतः फलन `x= -2 ` संतत नहीं है ।

(ii) `x =0` पर सांतत्य

`L.H.L `

`= lim_(x to 0 ^- ) f(x) `

` = lim _( x to 0 ^- ) (2x+3) `

`= 2xx0+3 `

`=3`

`R.H.L `
`= lim _( x to 0 ^+) f(x) `

` = lim _( x to 0^ +) { x^2+3 } `
`=(0)+3`

`=3`

अब `f(0)`

`=0^2 +3`

`=3`

चूंकि ` L.H.L = f(0) = R.H.L `

`:. x=0` पर संतत है

`(ii) x =3` पर सांतत्य

`L.H.L`
` = lim_(x to 3 ^- ) f(x) `

` = lim _( x to 3^ - ) (x^2+3) `

`= 3^2+3 `
`12`

`R.H.L `

`= lim _( x to 3 ^+) f(x) `

` = lim _( x to 3 ^+) x^3-15 `
`=3^3-15`

`=12`

`f(3)=`

चूंकि ` L.H.L = f(3) = R.H.L`

`:. x=3` पर संतत है।