माना z कोई एक सम्‍मिश्र संख्या है। `z^(n)-1` रूप के व्यंजक को गुण्नख्ण्‍डित करने के लिए, हम समीकरण `z^(n)=1` को लेंगें। इस समीकरण को डी-मॉयवर प्रमेय के प्रयोग से हल करेंगें। माना `1,alpha_(1),alpha_(2),……..alpha_(n-1)` इस समीकरण के मूल कै तो `z^(n)-1=(z-1)(z-alpha_(1))(z-alpha_(2))………….(z-alpha_(n-1))` होगा। व्यंजक `z^(n)-k^(n)` के गुणनखण्ड करने केलिए इस विधि को व्यापक किया जा सकता है।
उदाहरणः `z^(7)+1=prod_(m=0)^(6)(z-CiS((2mpi)/7+(pi)/7))`
इसको पुनः निम्न से सरलीकृत किया जा सकता है।
`z^(7)+1=(z+1)(z^(2)-2z"cos"(pi)/7+1)(z^(2)-2z"cos"(3pi)/7+1)(z^(2)-2z"cos"(5pi)/7+1)`………(i)
यह विभाजक गुणनखण्ड त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सि8 करने में महत्वपूर्ण है। उदाहरण यदि समीकरण (i) में हम z=i रखे तो समीकरण (i) निम्न परिवर्तित होगी:
`(1-i)=(i+1)(-2i"cos"(pi)/7)(-2i"cos"(3pi)/7)(-2i"cos"(5pi)/7)`
अर्थात `"cos"(pi)/7"cos"(3pi)/7"cos"(5pi)/7=-18`
`z^(5)+1` के लिए गुणनखण्ड का प्रयोग करके `4"sin"(pi)/10"cos"(pi)/5` का मान होगा

Options

A. `-1`
B. 0
C. `tan(pi//2n)`
D. इनमें से कोई नहीं

Answer

A