एक इलेक्ट्रॉन तथा एक पॉजिट्रॉन को समान परिमाण के संवेग p = e BR से किसी एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र `B=B_(0)hati` में क्रमशः (0, 0, 0) तथा (0, 0, 1.5R) स्थितियों पर मुक्त किया गया है। संवेग की दिशाओं की किन अवस्थाओं में कक्षाएँ अप्रतिच्छेदी वृत्त होंगी?

Explanation

चूंकि B x-अक्ष के अनुदिश है, वृत्तीय कक्षा के लिए दो कणों के संवेग y-z तल में हैं। मान लीजिए इलेक्ट्रॉन तथा प्रोटॉन के संवेग क्रमशः `P_(1)` तथा `p_(2)` हैं। ये दोनो R त्रिज्या के वृत्त को निरूपित करते हैं। ये दोनो विपरीत दिशा के वृत्तों का निरूपण करते हैं। मान लीजिए `P_(1)y` अक्ष से `theta` कोण बनाता तो `p_(2)` को भी इतना ही कोण बनाना चाहिए। इनके अपने निजी केन्द्रों को संवेगों के लम्बवत तथा R दूरी पर होना चाहिए। मान लीजिए इलेक्ट्रॉन का केन्द्र Ce तल पॉजीट्रॉन का केन्द्र Cp पर है।
Ce के निर्देशांक हैं
`Cp-=(0,Rsintheta,(3)/(2)R-Rcostheta)`
यदि दोनों के केन्द्रों के बीच की दूरी 2R से अधिक है, तो इन दोनों के वृत्त परस्पर व्यापन नहीं करेंगे।
मान लीजिए Cp तथा Ce के बीच की दूरी d है, तब
`d^(2)=(2Rsintheta)^(2)+((3)/(2)R-2Rcostheta)^(2)`
`=4R^(2)sin^(2)theta+(9^(2))/(4)R-6R^(2)costheta+4R^(2)cos^(2)theta`
`=4R^(2)+(9)/(4)R^(2)-6R^(2)costheta`
चूंकि d को 2R से अधिक होना चाहिए `d^(2)gt4R^(2)`
`implies4R^(2)+(9)/(4)R^(2)-6R^(2)-6R^(2)costhetagt4R^(2)`
`implies(9)/(4)gt6costheta`
अथवा `costhetalt(3)/(8)`