कभी-कभी कोई रेडियोएक्टिव नाभिक विघटित होकर एक ऐसा नाभिक बनाता है जो स्वयं भी रेडियोएक्टिव होता है, उदाहरणार्थ `""^(38)S underset(=2.48 h) overset("अधायु ")to ""^(38) Cl underset(=0.2 h) overset(" अधायु ")to""^(38)Ar` (स्थायी) मान लीजिए हम 1 = 0 पर 1000 S18 नाभिकों से प्रारम्भ करते हैं। 1 = 0 पर `""^(38)CI` की संख्या शून्य है तथा` t = oo` पर पुन: शून्य है। 1 के किस मान पर नाभिकों की संख्या अधिकतम होगी और उस समय यह संख्या क्या होगी?

Explanation

`""^(38) S underset(2.48 h)to ""^(38) Cl underset(0.62 h)to ""^(38)Ar`
माना t समय पर, `""^(38)S ` के पास `N_1 (t)` सक्रिय नाभिक तथा `""^(38)Cl` के पास `N_2 (t)` सक्रिय नाभिक हैं।
` (dN_1)/(dt) = - lamda_1 N_1 = ""^(38)Cl` के बनने की दर
` (dN_2)/(dt) =- lamda_1 N_2 +lamda_1 N_1`
लेकिन `N_1 = N_0 e^( lamda t)`
` (dN_2)/(dt) =- lamda_1 N_0 e^(lamdat)- lamda_2 N_2`
` e^(-lamda_2t) dt ` से गुणा करके पुन: व्यवस्थित करने पर
`e^(lamda _2 t) dN_2 +lamda_2 e^(lamda_2 t) dt=lamda_1 = lamda_1 N_0 e^((lamda_2- lamda_1)t) dt `
दोनों पक्षों को समाकलित करने पर
` N_2 e^( lamda2 t) = (N_0 lamda_1)/( lamda_2 - lamda_1) e^(( lamda_2 - lamda_1)t) +C `
क्योंकि ` t=0 ,N_2 =0 C=(N_0 lamda_1)/(lamda_2 - lamda_1)`
`therefore N_2 e^(lamda 2 t) = (N_0 lamda_1)/( lamda_2 - lamda_1) (e^((lamda_2 - lamda_1)t) -1)`
`N_2 = (N_0 lamda_1) /( lamda_2 - lamda_1) ( e^(- lamda t)- e^(-lamda_2 t))`
अधिकतम गिनती के लिए` (dN_2)/(dt) =0`
हल करने पर` t=( In (lamda_1)/(lamda_2))//(lamda_1 -lamda_2)`
` =In ( 2.48 )/( 0.62 ) /// ( 2.48 -0.62 )`
`=(I n 4)/( 1.86 ) =( 2.303 log 4)/( 1.86 )`
`=0.745 s.`