यदि प्रकाश किसी स्थूल पिंड के पास से गुज़रता है तो गुरुत्वीय अन्योन्य क्रिया के कारण किरण में बंकन होता है। ऐसा होने का कारण माध्यम के प्रभावी अपवर्तनांक में परिवर्तन को माना जा सकता है। यह परिवर्तन होगा :
`n(r) = 1 + 2 GM//rc^(2)`
जहाँ r विचाराधीन बिन्दु की स्थूल पिंड के द्रव्यमान केन्द्र से दूरी है, G सार्वत्रिक गुरुत्वीय स्थिरांक है, M वस्तु का द्रव्यमान तथा c निर्वात में प्रकाश की चाल है। पिंड को गोलाकार मानते हुए किरण के अपने मूल पथ से विचलन को ज्ञात कीजिए जब यह पिंड से संस्पर्श करती हुई निकलती है।

Explanation

r तथा `r^(+) dr` पर दो तलों पर विचार करें। मान लीजिए तल r पर प्रकाश `theta` कोण से आपतित
होता है तथा `r + dr` से `theta + d theta` कोण से बाहर निकलता है।
तब स्नेल के नियम से
`n(r) sin theta = n(r + dr) sin (theta + d theta)`
`rArr n(r) sin theta cong (n(r) + (dn)/(dr) dr) (sin theta cos d theta + cos theta sin d theta)`
`cong (n(r) + (dn)/(dr) dr) ( sin theta + cos theta d theta)`
अवकल गुणन फलों को छोड़ने पर
`n(r) sin theta congn(r)sin theta+ (dn)/(dr) dr sin theta + n(r) cos theta d theta`
`rArr (dn)/(dr) tan theta = n (r)(d theta )/(dr) `
`rArr (2GM)/(r^(2)c^(2)) tan theta = (1 + (2GM)/(rc^(2))) (d theta )/(d r) approx (d theta )/(dr) `
`:. underset(0)overset(thetao)int d theta = (2HM)/c^(2) underset(-)overset(infty)int (tan theta dr)/r^(2)`
अब `r^(2) = x^(2) + R^(2) " तथा " tan theta = R/x`

`2rdr = 2xdr`
`underset(0)overset(infty)int d theta = (2GM)/C^(2) underset(-infty)overset(infty)int R/x (xdx)/((x^(2)+R^(2))^(3/2))`
`x = R tan phi` रखिए
`x = R tan phi`
` dx = R Sec^(2) phi d phi`
`:. theta_(0) = (2GMR)/c^(2) underset(-pi//2)overset(pi//2)int (R sec^(2) phi d phi)/(sec^(3) phi)`
` = (2GM)/(Rc^(2)) underset(-pi//2)overset(pi//2)int cos phi d phi = (4 GM)/(Rc^(2))`