इलेक्ट्रॉन व प्रोटॉन के मध्य बल हेतु स्थिर वैद्युतिकी का व्युत्क्रम वर्ग नियम है-
`absF = e^2/((4pi epsi_0).r^2) abs F" की "(1/r)` निर्भरता को क्वाण्टम सिद्धान्त में इस प्रकार समझा जा सकता है कि प्रकाश का 'कण' (फोटान) द्रव्यमान रहित है। यदि प्रोटान का द्रव्यमान `m_p` हो तो बल का संशोधित रूप होगा।
`absF =e^2/((4pi epsi_0)r^2) [1/r^2 + lambda/r] e xxp (- lambdar)` जहाँ `lambda =m_pC //h" तथा "bar h =h/(2pi)`
हाइड्रोजन परमाणु की न्यूनतम अवस्था की ऊर्जा में परिवर्तन का आकलन करें यदि `m_p` इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान का `10^(-6)` गुना है।

Explanation

`m_pc^2 = 10^(-6) xx" इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान " xx c^2`
`~~ 10^(-6) xx 0.5 MeV`
`~~ 10^(-6) xx 0.5 xx1.6 10^(-13)`
`~~ 0.8 xx 10^(-19) J`
`barh/(m_pc) = (barh c)/(m_pc^2) = (10^(-34) xx 3 xx 10^8)/(0.8 xx 10^(-19)) ~~ 4 xx 10^(-7) m gt gt ` बोहर त्रिज्या
`absF = e^2/(4pi epsi_0) [ 1/r^2 + lambda/r] exp (- lambdar)`
जहाँ `lambda^(-1) = barh/(m_pc) ~~ 4 xx 10^(-7) m gt gt r_B`
`:. lambda lt lt 1/r_B` अर्थात `lambdar_ Blt lt 1`
`U (r) = - e^2/(4pi epsi_0) . (exp (- lambda r))/r`
`mvr = barh :. v =barh /(mr)`
यह भी `: (mv^2)/r = ~~ (e^2/(4 pi epsi_0)) [1/r^2 + lambda/r]`
`:.barh^2/(mr^3) = (e^2/(4 pi epsi_0)) [ 1/r^2 + lambda/r]`
`:.barh^2/m = (e^2/(4 pi epsi_0)) [ r + lambdar^2]`
यदि `lambda = 0, r = r_B = barh/m. (4pi epsi_0)/(e^2)`
`barh^2/m = e^2/(4 pi epsi_0). r_B`
क्योंकि `lambda^(-1) gt gt r_B, r = r_B + delta` रखें
`:. r_B = r_B + delta + lambda(r_B^2 + delta^2 + 2deltar_B), delta^2` नगण्य है |
अथवा `O = lambdar_B^2 + delta(1 + 2lambda r_B)`
`delta = lambdar_B^2 (1 - 2 lambda r_B) = - lambda r_B^2` क्योंकि `lambdar_B lt lt 1`
`:. V (r) = - e^2/(4 pi epsi_0). (exp (-lambda delta - lambda r_B))/(r_B + delta)`
`:. V (r) =-(e^2)/( 4 pi epsi_0)/1/r_B [ (1- delta/r_B).(1 - lambdar_B)]`
`~= (- 27.2eV)` अपरिवर्तित रहता है |
गतिज ऊर्जा ` = 1/2 mv^2 = 1/2 m. barh^2/(mr^2) = barh^2/(2(r_B + delta)^2) = barh^2/(2r_B^2) (1 - (2delta)/r_B)`
`=(13.6 eV) [1+ 2lambdar_B]`
कुल उर्जा ` = (e^2)/(4piepsilon_0r_B) + (h_2)/(2r_B^2) [1 + 2lambda r_B]`
` = -27. 2 + 13.6[1 + 2lambda r_BeV = 27.2 lambda r_B eV`