उपग्रहों की कक्षाओं में स्थानान्तरण (Hohmann Transfer Orbit maneuver) हेतु उपयोग में आने वाला अन्तरिक्ष यान, उपग्रह को ग्रह की एक वृत्ताकार कक्षा से अन्य वृत्ताकार कक्षा में भेजने के लिए, यह अस्थायी रूप से दीर्घ वृत्ताकार कक्षा में प्रवेश करता है। M द्रव्यमान के ग्रह की r त्रिज्या की छोटी वृत्ताकार कक्षा से एक अन्तरिक्ष यान प्रारम्भ होता है। नीचे चित्र में दर्शाये गये बिन्दु A से यह इसके रॉकेट नोदन द्वारा स्वंय को दीर्घवृत्ताकार कक्षा में प्रवेश करवाता है। बिन्दु B पर यह दौबारा रॉकेट नोदन द्वारा 2r त्रिज्या की एक बड़ी वृत्ताकार कक्षा में प्रवेश करता है। आप यह मान सकते है कि रॉकेट नोदन बहुत शक्तिशाली है ताकि प्रत्येक बिन्दु पर वेग में परिवर्तन तात्क्षणिक रूप से हो जाता है। बिन्दु A व B के मध्य अन्तरिक्ष यान पर केवल ग्रह का गुरूत्वीय बल कार्यरत् है।

इस पथ पर गति करने के लिए आवश्यक `DeltaV_(A)` (बिन्दु A पर आवश्यक वेग में परिवर्तन जिससे यह गति हो सकें।) ज्ञात कीजिए:

Options

A. `sqrt((GM)/(r )) ( sqrt((2)/(3)) -1)`
B. `sqrt((GM)/(r )) ( sqrt((4)/(3)) -1)`
C. `sqrt((GM)/(r )) ( sqrt((4)/(3)) +1)`
D. `sqrt((2GM)/(r )) ( sqrt((4)/(3)) -1)`

Answer

B

Explanation

पहले प्रत्येक वृत्ताकार कक्षा में अन्तरिक्ष यान की चाल ज्ञात करते है। तब अलग से दीर्घवृत्ताकार कक्षा के प्रत्येक बिन्दु पर अन्तरिक्ष यान की चाल ज्ञात करते है।
वृत्ताकार कक्षा में वेग
`V_(1)= sqrt((GM)/(r ))`
दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए `K+ U = TE`
`(1)/(2)mV_(2)^(2)- (GMm)/(r )= -(GMm)/(2r)`
`V= sqrt((4GM)/(3r))`
`DeltaV_(A) = V_(2)-V_(1)= sqrt((GM)/(r )) [ sqrt((4)/(3)) -1]`
`DeltaV_(A)= sqrt((GM)/(r )) (sqrt((4)/(3)) -1)`