एकसमान आयतन आवेश घनत्व वाले कुचालक पदार्थ से बने एक ठोस घन पर विचार कीजिए। स्थिर वैद्युत विभव को अनंत पर शून्य मानते हुए, घन के एक कोने पर विभव और केंद्र पर विभव का अनुपात होगा

Options

A. `1:1`
B. `2:1`
C. `1:4`
D. `1:8`

Answer

B

Explanation

पहले, आइए हम वैद्युत विभव के सापेक्ष आनुपातिकता के तर्क को समझें। किसी क्षेत्र बिंदु पर किसी भी सतत आवेश वितरण के कारण वैद्युत विभव
`V=(1)/(4pi epsilon_(0)) int (rho(du))/(r )` है जहाँ `rho` आयतन आवेश घनत्व है, du एक छोटा अवयवी आयतन है और r आवेश वितरण से क्षेत्र बिंदु की दूरी है। इसलिए यदि `rho` नियतांक है, तब किसी क्षेत्र बिंदु पर विभव कुल आयतन के सीधे समानुपातिक है या दूसरे शब्दों में सतत आवेश वितरण के कुल आवेश के समानुपातिक है। इसी तरह, विभव दूरी r के व्युत्क्रमानुपातिक होगा।

अब, मान लेते हैं कि प्रश्न में जो घन दिया गया है (इसे पूर्ण घन कहें) की भुजा लंबाई 2a है और हमने इस घन को 8 छोटे घनों से मिलाकर बनाया है जिनकी (उन्हें अर्ध घन कहें) भुजा लम्बाई a है।
यदि पूर्ण घन के किसी भी कोने पर विभव
`V_("कोने")=V_(0)` है
तो अर्ध घन के कोने पर विभव
`V._("कोने")=V_(0) xx (2)/(8) =(V_(0))/(4)` है,
हमने दो के कारक से गुणा किया है क्योंकि अर्ध घन में सभी दूरियाँ पूर्ण घन की सभी दूरियों की आधी हैं और हमने आठ से विभाजित किया है क्योंकि अर्ध घन का आवेश पूर्ण घन के आवेश का एक-आठवां है। एक बिंदु पर विभव एक अदिश राशि है, हम पूर्ण घन के केंद्र पर विभव की गणना आठ अर्ध घनों द्वारा उत्पन्न विभव को जोड़कर कर सकते हैं।
`V_("केंद्र")=8V._("केंद्र") rArr V_("केंद्र")= 8xx (V_(0))/(4) =2V_(0)`
इसलिए पूर्ण घन के लिए आवश्यक अनुपात
`(V_("कोने"))/(V_("केंद्र"))=(V_(0))/(2V_(0))=(1)/(2)`