If `A ` and `B` are two non-singular matrices which commute, then `(A(A+B)^(-1)B)^(-1)(AB)=`

Options

A. A + B
B. `A^(-1)+B`
C. `A^(-1)+B^(-1)`
D. none of these

Answer

C

Explanation

`(A(A+B)^(-1)B)^(-1)`
`B^(-1)(A+B)A^(-1) [:' (ABC)^(-1)=C^(-1)B^(-1)A^(-1)]`
`=B^(-1)A A^(-1)+B^(-1)BA^(-1)`
`=B^(-1)+IA^(-1)=B^(-1)+A^(-1)`
`:. (A(A+B)^(-1)B)^(-1)(AB)=(B^(-1)+A^(-1))AB`
`=B^(-1)(AB)+A^(-1)(AB)`
`=B^(-1)(BA)+A^(-1)(AB)[:' AB=BA]`
`=(B^(-1)B)A+(A^(-1)A)B`
`=IB+IB=A+B`.