If `|a|<1a n d|b|<1,` then the sum of the series `1+(1+a)b+(1+a+a^2)+(1+a+a^2+a^3)b^3+...` is `1/((1-a)(1-b))` b. `1/((1-a)(1-a b))` c. `1/((1-b)(1-a b))` d. `1/((1-a)(1-b)(1-a b))`

Options

A. `(1)/((1-a)(1-b))`
B. `(1)/((1" "a)(1" "ab))`
C. `(1)/((1-b)(1-ab))`
D. `(1)/((1-a)(1-b)(1-ab))`

Answer

C

Explanation

We have,
`1+(1+a)b+(1+a+a^(2))b^(2)+(1+a+a^(2)+a^(3))+ . . . ."to "oo`
`=underset(n=1)overset(oo)sum(1+a+a^(2)+ . . . +a^(n-1))b^(n-1)`
`=underset(n=1)overset(oo)sum((1-a^(n))/(1-a))b^(n-1)`
`=underset(n=1)overset(oo)sum(b^(n-1))/(1-a)-underset(n=1)overset(oo)sum(a^(n)b^(n-1))/(1-a)`
`=(1)/(1-a)underset(n=1)overset(oo)sumb^(n-1)-(a)/(1-a)underset(n=1)overset(oo)sum(ab)^(n-1)`
`=(1)/(1-a)[(1+b+b^(2)+ . . .oo)]-(a)/(1-a)[(1+ab+(ab)^(2)+ . . .oo)]`
`=(1)/(1-a)(1)/(1-b)-(a)/((1-a)(1-ab))=(1)/((1-ab)(1-b))`