If `lim _(x to 0) ((sin (sin x)-sin x))/(ax ^(3) + bx ^(5) +c)=-(1)/(12),` then:

Options

A. `a=2,b= in R ,c=0`
B. `a=-2,b in R , c=0`
C. `a=1,b= in R , c=0`
D. `a=-1,b in R, c=0`

Answer

A

Explanation

We have,
`lim_(xto0) (sin(sinx)-sinx)/(ax^3+bx^5+c)=-(1)/(12)`
`rArr lim_(xto0) (2sin((sinx-x)/(2))cos ((sinx+x)/(2)))/(ax^3+bx^5+c)=-(1)/(12)`
`rArr lim_(xto0) sin((sinx-x)/(2))/sin((sinx-x)/(2))xx(((sinx-x)/(2))/(ax^3+bx^5+c))xxcos((sinx+x)/(2))=-(1)/(12)`
`rArr 2lim_(xto0) ((sin x-x)/(2(ax^3+bx^5+c))=-(1)/(12)`
`rArr lim_(xto0) (-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)-(x^7)/(7!)+....)/(ax^3+bx^5+c)=(1)/(12)`
Clearly, LHS will be a non- zero real number , if `c=0` . When, `c=0` , we have
`rArr lim_(xto0) (-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)-(x^7)/(7!)+....)/(ax^3+bx^5)=(1)/(12)`
`rArr -(1)/(6a)=(1)/(12)` for all `bin R`.
`a=2` .