The value of `lim_(xrarr oo) x{(1)/(e)-((x)/(x+1))^x}` , is

Options

A. `-(e)/(2)`
B. `(1)/(e)`
C. `-(1)/(2e)`
D. `(2)/(e)`

Answer

C

Explanation

`lim_(xto oo) x{(1)/(e)-((x)/(x+1))^x}`
`lim_(xto oo) x{e^-1-(1+(1)/(x))^-x}`
`lim_(xto oo) x{e^-1-e^(-xlog(1+(1)/(x)))}`
`lim_(xto oo) x{e^-1-e^(-x((1)/(x)-(1)/(2x^2)+(1)/(3x^3)+(1)/(4x^4)+.....))}`
`=lim_(xto oo) x{e^-1-e^(1+(1)/(2x)+(1)/(3x^2)+(1)/(4x^3)-.....)}`
`=lim_(xto oo) -xe^-1{e^((1)/(2x)-(1)/(3x^2)+(1)/(4x^3)-.....)-1}`
`=lim_(xto oo) -xe^-1{(e^((1)/(2x)-(1)/(3x^2)+(1)/(4x^3)-.....)-1)/(((1)/(2x)-(1)/(3x^2)+(1)/(4x^3)-.....))}xx((1)/(2x)-(1)/(3x^2)+(1)/(4x^3)-....)`
`=-e^-1xx1xx(1)/(2)=-(1)/(2e)`