If `lim_(x->0)(x^n-sinx^n)/(x-sin^n x)` is non-zero finite, then `n` must be equal to 4 (b) 1 (c) 2 (d) 3

Options

A. 1
B. 2
C. 3
D. none of these

Answer

B

Explanation

`lim_(xto0) (x^nsin^n x)/(x^n-sin^n x) `
`=-lim_(xto0) (x^n((sinx)/(x))^n)/(((sinx)/(x))^n-1)=-lim_(xto0)(x^n((sinx)/(x))^n)/({(((sinx)/(x))^n-1^n)/(((sinx)/(x))-1)}xx((sinx)/(x)-1))`
` =-((1))/(n(1)^(n-1))xxlim_(xto0) (x^(n+1))/(sinx-x)`
`=-(1)/(n)lim_(xto0) ((n+1)x^n)/(cosx-1)`
` =-((n+1))/(n)lim_(xto0) (x^n)/(cos x-1)=-((n+1)/n)lim_(xto0) (nx^(n-1))/(-sinx)`
` =-(n+1)lim_(xto0) (x^(n-1))/(sin x)=(n+1)(n+1)lim_(xto0) (x^(n-2))/(-cosx)`
`=(n62-1)xxlim_(xto0) x^(n-2)=n^2 -1 , if n=2`