For the matrix `A=[1 1 1 1 2-3 2-1 3]` . Show that `A^3-6A^2+5A+11\ I_3=O` . Hence, find `A^(-1)` .

Explanation

`A^(2)=A.A`
`=[{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}][{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}]`
`=[{:(4,2,1),(-3,8,-14),(7,-3,14):}]`
`"and "A^(3)=A^(2).A`
`=[{:(4,2,1),(-3,8,-14),(7,-3,14):}][{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}]`
`=[{:(4+2+2,4+4-1,4-6+3),(-3+8-28,-3+16+14,-3-24-42),(7-3+28,7-6-14,7+9+42):}]=[{:(8,7,1),(-23,27,-69),(32,-13,58):}]`
`"Now L.H.S. =" A^(3)-6A^(2)+5A+11I`
`=[{:(8,7,1),(-23,27,-69),(32,-13,58):}]-6[{:(4,2,1),(-3,8,-14),(7,-3,14):}]`
`+5[{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}]+11[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`[{:(8-24+5+11,7-12+5+0,1-6+5=0),(-23+18+5+0,27-48+10+11,-69+84-15+0),(32=42+10+0,-13+18-5+0,58-84+15+11):}]`
`=[{:(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0):}]=O=R.H.S.`
`"Now |A|=[{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}]`
=1(6-3)-1(3+6)+1(-1-4)
` =3-9-5=11ne0`
`therefore A^(-1)`exists.
`"Now "A^(3)-6A^(2)+5A+11I=-O`
`rArr A^(-1)(A^(3)-6A^(2)+5A+11I)=A^(-1).O`
`rArr" "A^(2)-6A+5I+11A^(-1)=O`
`rArr" "-11A^(-1)=A^(2)-6A+5I`
`=[{:(4,2,1),(1,1,1),(7,-3,14):}]-6[{:(1,1,1),(1,2,-3),(2,-1,3):}]+5[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`=[{:(4-6+5,2-6+0,1-6+0),(-3-6+0,8-12+5,-14+18+0),(7-12+0,-3+6+0,14-18+5):}]`
`=[{:(3,-4,-5),(-9,1,4),(-5,3,1):}]=A^(-1)=-1/11[{:(3,-4,-5),(-9,1,4),(-5,3,1):}]`