If `f(x)=int_0^1(dt)/(1+|x-t|),t h e nf^(prime)(1/2)i se q u a lto` 0 (b) `1/2` (c) 1 (d) none of these

Options

A. `1//2`
B. `0`
C. `1`
D. `2`

Answer

B

Explanation

`f(x)=int_(0)^(1)(dt)/(1+|x-t|)`
`={(int_(0)^(1)(dt)/(1+|x-t|),xlt0),(int_(0)^(1)(dt)/(1+|x-t+),0lexle1),(int_(0)^(1)(dt)/(1+|x-t|),xgt1):}`
`={(int_(0)^(1)(dt)/(1+t-x),xlt0),(int_(0)^(x)(dt)/(1+x-t)+int_(x)^(1)(dt)/(1+t-x),0lexle1),(int_(0)^(1)(dt)/(1+x-t),xgt1):}`
`={([log_(e)(1+t-x)]_(0)^(1),xlt0),([-log_(e)(1+x-t)]_(0)^(1)+[log_(e)(1+t-x)]_(x)^(1),0lexle1),([-log_(e)(1+x-t)]_(0)^(1),xgt1):}`
`={("log"_(e)(2-x)/(1-x),xlt0),("log"_(e)(1+x)(2-x),0lexle1),("log"_(e)(1+x)/x,xgt1):}`